从Reader Bool到Maybe的自然变换

Question

从Reader Bool到Maybe的自然变换

haskellfunctorcategory-theory

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我正在阅读Bartosz的精彩博客，并在追随第三个挑战问题，但有点困惑：

https://bartoszmilewski.com/2015/04/07/natural-transformations/

Q3:定义一些自然变换，从Reader Bool到Maybe

我已经定义了Reader函子为:

newtype Reader e a = Reader (e->a)

runReader :: Reader e a -> e -> a
runReader (Reader f) env = f env

instance Functor (Reader e) where
    fmap f (Reader g) = Reader (\x -> f (g x))

我想找到一个自然变换

n :: Reader Bool a -> Maybe a

我的直觉是，如果Reader的环境为True，那么我可以得到一个Just a，如果为False，则自然变换映射到Nothing。但这感觉有点单子性，或者像嵌套在Reader Bool (Maybe Int)中的Maybe，所以我不确定。

我无法想象如何做到这一点。我能想到最好的方法是：

n :: Reader Bool a -> Maybe a
n (Reader f) = Just (f True)

但是这无法考虑环境，也不能返回 Nothing。

我想建立一个可交换的结构，通过使用 fmap 和自然变换来构建一个正方形。

例如：

                          nat
Reader Bool Int +---------------------------> Maybe Int
     +                                            +
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     |    fmap show                               |  fmap show
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     |                                            |
     v                  nat                       v
Reader Bool String  +--------------------------> Maybe String

你能帮我填补空缺吗？

- Josh.F

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你想让 n 使用环境，但是由于你只有 Reader，没有环境，所以你必须自己提供它。我认为 Just (f True)、Just (f False) 和 Nothing 都是这些函子之间的自然变换。 - lisyarus

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- lisyarus · Accepted Answer

正如我在评论中已经说过的，你想要n使用环境，但是由于你只有Reader，没有环境，所以你必须自己提供。

显然，这实际上是三个不同的自然变换 Reader Bool a -> Maybe a:

n (Reader f) = Just (f True)

n (Reader f) = Just (f False)

n (Reader f) = Nothing

让我们证明没有更多的了。从范畴论的角度来看，函子Reader Bool a就是Hom(Bool,_)。现在，Yoneda引理告诉我们：

Nat(Hom(X,_), F) = F(X)

也就是说，从函子Hom(X,_)到函子F的自然变换与集合F(X)中的元素一一对应。

在我们的情况下，X = Bool，F = Maybe，因此我们得到

Nat(Hom(Bool,_),Maybe) = Maybe Bool

Maybe Bool包含三个元素：Just True，Just False和Nothing，它们对应于答案开头的实现。