叉积矩阵的迹 - 更快的计算方法？

Question

我需要在R中快速计算矩阵A = B' C的迹(trace(A))。我能想到最快的方法如下：

set.seed(123)
n <- 10^6
B <- matrix(rnorm(n), ncol=sqrt(n))
C <- matrix(rnorm(n), ncol=sqrt(n))

ptm <- proc.time()
A <- tcrossprod(B,C)
traceA <- sum(diag(A))
proc.time() - ptm

我在思考是否有更快的方法来计算矩阵A（特别是当矩阵B和矩阵C对称或者幂等时）。我的意思是，通过行A <- tcrossprod(B,C)我正在计算整个矩阵A，但我只需要矩阵对角线元素的和（trace(A)）。

为了加速这个过程，我想到了一个并行计算tcrossprod的方法，但我还没有找到实现这个方法的工具（此外，我不知道这是否是一个好主意）。有人有什么想法吗？

- Giuseppe

Answer 1

Tr(B'C)就是将矩阵B和C视为向量进行内积运算的结果。

sum(B*C)

这个技巧在这个例子中起到了作用，并且比原来的方法快了几个数量级。

- whuber

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好的谢谢！我忘了提到，实际上矩阵A有一个递归计算。例如：A(k) = A(k-1) + crossprod(B,A(k-1))。并且我需要第k步中A(k)的迹。所以如果我使用你的建议：trace(A(k)) = sum(diag(A(k-1)) + sum(A(k-1)*B)，但是没有完整的矩阵A(k-1)，那么A(k)的迹无法计算，对吗？我想我需要编辑我的描述。 - Giuseppe

为了补充这个很好的答案，在更一般的情况下，如果B是大小为$N\times K$，C是$K \times N$，你需要使用sum(t(B) * C)。 - mbiron