如何计算两条直线之间的正角度和负角度？

Question

这里有一个非常方便的二维几何工具集。

angleBetweenLines方法存在问题，它的结果总是正数。我需要检测正负角度，因此如果一条线比另一条线高或低15度，形状显然不同。

我的情况是一根线保持静止，而另一根线旋转，我需要通过将其与静止线进行比较来理解它的旋转方向。

编辑：作为对下面swestrup评论的回应，实际上我的情况是有一条单独的线，并记录其起始位置。然后该线从其起始位置旋转，我需要计算从其起始位置到当前位置的角度。例如，如果它顺时针旋转，则为正旋转；如果逆时针旋转，则为负旋转。（反之亦然）

如何改进算法，使其根据线的位置返回正负角度？

- Jaanus

---

鉴于两个任意相交的线段，很难确定哪一个“在上面”，甚至很难确定要测量哪个角度，因为它们通常形成一个“X”形状。你是否总是使用具有共同起点的两条线？那样会简单得多。 - swestrup

抱歉，我澄清一下。我实际上是在谈论一条线及其相对于起始位置的旋转。 - Jaanus

你想要什么范围？你想要完整的-pi到pi，还是只需要-pi/2到pi/2，即你是否关心线的方向？ - Troubadour

不用在意方向，我只需要监测旋转角度差大约45度左右。 - Jaanus

@Jaanus：在这种情况下，duffymo的答案已经足够了。 - Troubadour

@Troubadour：听起来很酷，但我希望能够懒一点，让答案用代码写出来 :P - Jaanus

Answer 1

这是brainjam建议的实现方式。(它适用于我的限制条件，即行之间的差异保证足够小，无需进行任何归一化操作。)

CGFloat angleBetweenLinesInRad(CGPoint line1Start, CGPoint line1End, CGPoint line2Start, CGPoint line2End) {
    CGFloat a = line1End.x - line1Start.x;
    CGFloat b = line1End.y - line1Start.y;
    CGFloat c = line2End.x - line2Start.x;
    CGFloat d = line2End.y - line2Start.y;

    CGFloat atanA = atan2(a, b);
    CGFloat atanB = atan2(c, d);

    return atanA - atanB;
}

我喜欢它很简洁。矢量版本会更简洁吗？

- Jaanus

---

我接受了brainjam的答案，因为我真的是在寻求算法方面的帮助，而且通常情况下，如果我的答案是另一个答案的衍生物，我不喜欢接受自己的答案，我更愿意给予他人应有的荣誉。 - Jaanus

+1 这太巧妙了！省去了我数小时的几何计算和调试时间！ - K Mehta

Answer 2

这是一个涉及2D向量的简单问题。两个向量之间的夹角的正弦值与这两个向量的叉积有关。而“上方”或“下方”则由叉积产生的向量的符号决定：如果你对向量A和B进行叉乘，所得到的叉积为正，那么A在B“下方”；如果叉积为负，则A在B“上方”。详情请参见Mathworld。

以下是我如何在Java中编写它的代码示例：

package cruft;

import java.text.DecimalFormat;
import java.text.NumberFormat;

/**
 * VectorUtils
 * User: Michael
 * Date: Apr 18, 2010
 * Time: 4:12:45 PM
 */
public class VectorUtils
{
    private static final int DEFAULT_DIMENSIONS = 3;
    private static final NumberFormat DEFAULT_FORMAT = new DecimalFormat("0.###");

    public static void main(String[] args)
    {
        double [] a = { 1.0, 0.0, 0.0 };
        double [] b = { 0.0, 1.0, 0.0 };

        double [] c = VectorUtils.crossProduct(a, b);

        System.out.println(VectorUtils.toString(c));
    }

    public static double [] crossProduct(double [] a, double [] b)
    {
        assert ((a != null) && (a.length >= DEFAULT_DIMENSIONS ) && (b != null) && (b.length >= DEFAULT_DIMENSIONS));

        double [] c = new double[DEFAULT_DIMENSIONS];

        c[0] = +a[1]*b[2] - a[2]*b[1];
        c[1] = +a[2]*b[0] - a[0]*b[2];
        c[2] = +a[0]*b[1] - a[1]*b[0];

        return c;
    }

    public static String toString(double [] a)
    {
        StringBuilder builder = new StringBuilder(128);

        builder.append("{ ");

        for (double c : a)
        {
            builder.append(DEFAULT_FORMAT.format(c)).append(' ');
        }

        builder.append("}");

        return builder.toString();
    }
}

检查第三个分量的符号。如果是正数，则A在B“下方”；如果是负数，则A在B“上方”，只要这两个向量在y轴右侧的两个象限中。显然，如果它们都在y轴左侧的两个象限中，则相反是真的。

您需要考虑“上方”和“下方”的直觉概念。如果A在第一象限（0 <= θ <= 90）中，而B在第二象限（90 <= θ <= 180）中怎么办？ “上方”和“下方”失去了意义。

线条随后从其起始位置旋转，我需要计算从其起始位置到当前位置的角度。例如，如果它顺时针旋转，则为正旋转；如果逆时针旋转，则为负旋转。（或反之亦然。）

这正是叉积的用途。当您从旋转平面向下看时，第三个分量的符号为逆时针为正，顺时针为负。

- duffymo

---

这听起来很不错，但将向量乘法转换为代码有点超出我的能力范围，我希望能够懒一点并以代码形式获得它 :P 即输入：我拥有的，两条线段端点的坐标；输出：有符号角度。 - Jaanus

来嘛，向量乘法只是乘法。你能编写一个配方吗？输入两个向量，输出一个向量。你想用哪种语言实现它？ - duffymo

哇，感谢您的整理。我发现我的atan2版本更适合我的需求，但也许对其他阅读此内容的人会有帮助。 - Jaanus

Answer 3

@duffymo的回答是正确的，但如果您不想实现叉积，可以使用atan2函数。它返回-π到π之间的角度，并且您可以在每条线（或更准确地说是表示线的向量）上使用它。

如果您为第一条（静止的）线获得了一个角度θ，则必须将第二条线的角度φ归一化为θ-π和θ+π之间（通过添加±2π）。然后两条线之间的夹角将为φ-θ。

- brainjam

---

所有这些向量的东西都让我头炸了。（抱歉，我忘记了很多数学知识...）现在，我只是计算两条线的atan2并进行比较，效果很好。谢谢。 - Jaanus

Answer 4

一种“快速且不太规范”的方法是引入第三个参考线R。因此，给定两条线A和B，计算A和R之间的角度，然后计算B和R之间的角度，并相减。

这种方法实际上需要进行大约两倍的计算量，但易于解释和调试。

- swestrup

---

我理解atan2基本上就是这样做的，其中x轴是参考线。 - Jaanus

Answer 5

// Considering two vectors CA and BA
// Computing angle from CA to BA
// Thanks to code shared by Jaanus, but atan2(y,x) is used wrongly.

float getAngleBetweenVectorsWithSignInDeg(Point2f C, Point2f A, Point2f B)
{      
    float a = A.x - C.x;
    float b = A.y - C.y;
    float c = B.x - C.x;
    float d = B.y - C.y;

    float angleA = atan2(b, a);
    float angleB = atan2(d, c);
    cout << "angleA: " << angleA << "rad, " << angleA * 180 / M_PI << " deg" << endl;
    cout << "angleB: " << angleB << "rad, " << angleB * 180 / M_PI << " deg" << endl;
    float rotationAngleRad = angleB - angleA;
    float thetaDeg = rotationAngleRad * 180.0f / M_PI;
    return thetaDeg;
}

- marikhu

Answer 6

那个函数在RADS中运行正常

一个完整的圆有2pi RADS（360度）

因此，我相信你要找的答案就是返回值-2pi

如果你想让这个函数同时返回两个值，那么你就是在要求打破语言规则，一个函数只能返回一个值。你可以传递两个指针给它，让它用来设置值，这样改变就可以在函数结束后持续存在，你的程序也可以继续工作。但这并不是解决这个问题的明智方式。

编辑

刚刚注意到这个函数实际上在返回值时将Rads转换为Degrees。但是同样的原理仍然适用。

- thecoshman