使用苹果的Accelerate框架进行希尔伯特变换（解析信号）？

Question

我在使用苹果的Accelerate Framework时，在C++中获得了一个与Matlab等效的Hilbert变换存在问题。我已经成功地让vDSP的FFT算法工作，并且在Paul R的帖子的帮助下，已经成功地得到了与Matlab相同的结果。

我阅读了这个Jordan的stackoverflow问题，并阅读了Matlab算法（在“算法”子标题下）。为了总结这个算法，分为三个阶段：

1. 对输入进行正向FFT。 2. 零反射频率和DC到Nyquist之间的双倍频率。 3. 对修改后的正向FFT输出进行反向FFT。

以下是Matlab和C++每个阶段的输出。示例使用以下数组：

- Matlab：`m = [1 2 3 4 5 6 7 8]`; - C++：`float m[] = {1,2,3,4,5,6,7,8}`。

  36.0000 + 0.0000i
  -4.0000 + 9.6569i
  -4.0000 + 4.0000i
  -4.0000 + 1.6569i
  -4.0000 + 0.0000i
  -4.0000 - 1.6569i
  -4.0000 - 4.0000i
  -4.0000 - 9.6569i

第二阶段：

  36.0000 + 0.0000i
  -8.0000 + 19.3137i
  -8.0000 + 8.0000i
  -8.0000 + 3.3137i
  -4.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i

第三阶段：

   1.0000 + 3.8284i
   2.0000 - 1.0000i
   3.0000 - 1.0000i
   4.0000 - 1.8284i
   5.0000 - 1.8284i
   6.0000 - 1.0000i
   7.0000 - 1.0000i
   8.0000 + 3.8284i

C++示例（使用苹果的加速框架）

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阶段1：

Real: 36.0000, Imag: 0.0000
Real: -4.0000, Imag: 9.6569
Real: -4.0000, Imag: 4.0000
Real: -4.0000, Imag: 1.6569
Real: -4.0000, Imag: 0.0000

第二阶段：

Real: 36.0000, Imag: 0.0000
Real: -8.0000, Imag: 19.3137
Real: -8.0000, Imag: 8.0000
Real: -8.0000, Imag: 3.3137
Real: -4.0000, Imag: 0.0000

阶段三：

Real: -2.0000, Imag: -1.0000
Real:  2.0000, Imag: 3.0000
Real:  6.0000, Imag: 7.0000
Real: 10.0000, Imag: 11.0000

很明显，结果不同。我想要计算Matlab的“第三阶段”结果（或至少是虚部），但我不知道该怎么做，我已经尝试了我能想到的一切，但没有成功。我有一种感觉，这是因为在苹果加速版本中没有将反射频率清零，因为它们没有提供（由于是从DC和Nyquist之间的频率计算出来的）-所以我认为FFT只是将双频的共轭作为反射值，这是错误的。如果有人能帮我解决这个问题，我将非常感激。

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代码

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void hilbert(std::vector<float> &data, std::vector<float> &hilbertResult){

    // Set variable.
    dataSize_2 = data.size() * 0.5;

    // Clear and resize vectors.
    workspace.clear();
    hilbertResult.clear();

    workspace.resize(data.size()/2+1, 0.0f);
    hilbertResult.resize(data.size(), 0.0f);

    // Copy data into the hilbertResult vector.
    std::copy(data.begin(), data.end(), hilbertResult.begin());

    // Perform forward FFT.
    fft(hilbertResult, hilbertResult.size(), FFT_FORWARD);

    // Fill workspace with 1s and 2s (to double frequencies between DC and Nyquist).
    workspace.at(0) = workspace.at(dataSize_2) = 1.0f;

    for (i = 1; i < dataSize_2; i++)
        workspace.at(i) = 2.0f;

    // Multiply forward FFT output by workspace vector.
    for (i = 0; i < workspace.size(); i++) {
        hilbertResult.at(i*2)   *= workspace.at(i);
        hilbertResult.at(i*2+1) *= workspace.at(i);
    }

    // Perform inverse FFT.
    fft(hilbertResult, hilbertResult.size(), FFT_INVERSE);

    for (i = 0; i < hilbertResult.size()/2; i++)
        printf("Real: %.4f, Imag: %.4f\n", hilbertResult.at(i*2), hilbertResult.at(i*2+1));
}

以上代码是我用来获得“阶段3”C++（使用苹果的Accelerate Framework）结果的。前向fft的fft(..)方法执行vDSP fft例程，然后按比例缩放0.5并解压缩（根据Paul R的帖子）。当执行反向fft时，数据被打包，乘以2.0缩放，使用vDSP进行fft，最后乘以1 /（2 * N）缩放。

- John Bale

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如果你能发布你的代码（只需要包含这里的转换部分），那么帮助你会相对容易一些。 - undefined

代码已附加到问题中。 :) - undefined

如果你正在对信号进行Hilbert变换，那么你可能想使用overlap-add。即每次以1024个样本的步长移动信号，并使用4096的FFT窗口。在进行FFT之前，使用包络（raised cosine或其他更好的方法）。调整你的FFT频率区间，然后进行逆FFT并将重叠的帧组合起来。一旦你搞定了，你可以轻松地改编Stefan的代码，并通过加速优化它。 - undefined

Answer 1

据我所知，您的主要问题（由于您的代码示例未包含对vDSP的实际调用）是在第三个步骤中尝试使用实数到复数FFT例程，而这基本上是一个复杂到复杂的逆FFT（因为您的Matlab结果具有非零虚部）。以下是使用vDSP的简单C语言实现，与您的预期Matlab输出匹配（我使用更现代化的vDSP_DFT例程，通常应优先使用较旧的fft例程，但除此之外，这与您正在做的事情非常相似，并说明了需要进行实数到复数的正向变换，但进行复杂到复杂的逆变换）：

#include <Accelerate/Accelerate.h>
#include <stdio.h>

int main(int argc, char *argv[]) {
  const vDSP_Length n = 8;
  vDSP_DFT_SetupD forward = vDSP_DFT_zrop_CreateSetupD(NULL, n, vDSP_DFT_FORWARD);
  vDSP_DFT_SetupD inverse = vDSP_DFT_zop_CreateSetupD(forward, n, vDSP_DFT_INVERSE);
  //  Look like a typo?  The real-to-complex DFT takes its input separated into
  //  the even- and odd-indexed elements.  Since the real signal is [ 1, 2, 3, ... ],
  //  signal[0] is 1, signal[2] is 3, and so on for the even indices.
  double even[n/2] = { 1, 3, 5, 7 };
  double odd[n/2] = { 2, 4, 6, 8 };
  double real[n] = { 0 };
  double imag[n] = { 0 };
  vDSP_DFT_ExecuteD(forward, even, odd, real, imag);
  //  At this point, we have the forward real-to-complex DFT, which agrees with
  //  MATLAB up to a factor of two.  Since we want to double all but DC and NY
  //  as part of the Hilbert transform anyway, I'm not going to bother to
  //  unscale the rest of the frequencies -- they're already the values that
  //  we really want.  So we just need to move NY into the "right place",
  //  and scale DC and NY by 0.5.  The reflection frequencies are already
  //  zeroed out because the real-to-complex DFT only writes to the first n/2
  //  elements of real and imag.
  real[0] *= 0.5; real[n/2] = 0.5*imag[0]; imag[0] = 0.0;
  printf("Stage 2:\n");
  for (int i=0; i<n; ++i) printf("%f%+fi\n", real[i], imag[i]);

  double hilbert[2*n];
  double *hilbertreal = &hilbert[0];
  double *hilbertimag = &hilbert[n];
  vDSP_DFT_ExecuteD(inverse, real, imag, hilbertreal, hilbertimag);
  //  Now we have the completed hilbert transform up to a scale factor of n.
  //  We can unscale using vDSP_vsmulD.
  double scale = 1.0/n; vDSP_vsmulD(hilbert, 1, &scale, hilbert, 1, 2*n);
  printf("Stage 3:\n");
  for (int i=0; i<n; ++i) printf("%f%+fi\n", hilbertreal[i], hilbertimag[i]);
  vDSP_DFT_DestroySetupD(inverse);
  vDSP_DFT_DestroySetupD(forward);
  return 0;
}

请注意，如果您已经构建了DFT设置并分配了存储空间，则计算非常简单;“真正的工作”只是：

  vDSP_DFT_ExecuteD(forward, even, odd, real, imag);
  real[0] *= 0.5; real[n/2] = 0.5*imag[0]; imag[0] = 0.0;
  vDSP_DFT_ExecuteD(inverse, real, imag, hilbertreal, hilbertimag);
  double scale = 1.0/n; vDSP_vsmulD(hilbert, 1, &scale, hilbert, 1, 2*n);

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示例输出：

Stage 2:
36.000000+0.000000i
-8.000000+19.313708i
-8.000000+8.000000i
-8.000000+3.313708i
-4.000000+0.000000i
0.000000+0.000000i
0.000000+0.000000i
0.000000+0.000000i
Stage 3:
1.000000+3.828427i
2.000000-1.000000i
3.000000-1.000000i
4.000000-1.828427i
5.000000-1.828427i
6.000000-1.000000i
7.000000-1.000000i
8.000000+3.828427i

- Stephen Canon

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对于任何利用这个很棒的答案的人，只是一个小提示 - real和imag数组就足够了，没有必要使用额外的even、odd和hilbert数组。只需将real和imag的前半部分初始化为偶数和奇数内容，并将后半部分置零即可。 - undefined