为什么在Matlab中，orth函数比qr函数慢得多？

Question

我正在用Matlab对大矩阵进行正交化处理，但我发现函数orth比qr慢得多，例如：

>> a = randn(200000, 80);
tic; orth(a); toc;
Elapsed time is 2.472516 seconds.
>> tic; qr(a); toc;
Elapsed time is 0.610215 seconds. 

什么原因导致了如此大的差异？

- Moonwalker

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从文档中了解到，orth 可能使用 SVD，而 qr 则使用 Gram-Schmidt（或其他立方算法），但我不太自信将其发布为答案。 - David Eisenstat

@DavidEisenstat orth 函数确实使用了 SVD，这可以从其代码中看出。qr 是一个内置函数，所以你的猜测还有待确认。 - Luis Mendo

@DavidEisenstat，因为舍入误差，我将失去qr的一些正交性吗？ - Moonwalker

我不会期望输出质量有显著的差异，除非一个向量接近于其他向量的张成空间。 - David Eisenstat

Answer 1

看起来 qr 确实是更快的方法。

从逻辑上讲，这意味着它必须有一个缺点，否则 Matlab 不会继续使用这种较慢的方法。

你主要想注意的两件事：

• 内存要求
• 准确性

虽然可能还有其他原因导致现在实现 orth 的方式，但我猜其中之一就是这些。

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附言：您可能还想查看这个简单的Gram Schmidt解决方案以供比较。

- Dennis Jaheruddin

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保持 orth 不变的另一个原因是，这样任何使用它的旧代码仍然能够产生完全相同的结果。 - horchler

@horchler 这确实是一个考虑因素，但可能还不够。如果仅为了向后兼容而保留它，人们可能会期望在文档中有一些提示或某种标志（“快速”，“遗留”）。-- 我意识到整个答案都是猜测，但这仍然是我最好的猜测。 - Dennis Jaheruddin