连续元素的按位异或为k的子序列的最大长度

Question

连续元素的按位异或为k的子序列的最大长度

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我想解决这个问题，其中我们需要查找最长的子序列，使得每个连续元素的异或等于k。例如：数组 [3,2,4,3,5] 和 k=1，答案将是 3，子序列为 [3,2,3]。

目前我尝试过以下方法：

1. 基本的双重循环解法，使用两个循环来查找异或等于 k 的子序列。由于数组中的元素数量可能多达10^5，因此这种方法会超时。伪码如下：

int finalAns=0;
loop (i=0...n):
  int xortillnow = array[i], count=1;  // since we have already selected one element
  loop(j=i+1..n):
      if((xortillnow ^ array[i])==k):
          count++;
          xortillnow = xortillnow ^ array[i];
   finalAns = max(count,finalAns);

2. 其次我考虑使用动态规划，可以存储已计算子序列的异或值，但我无法完成算法。

请问是否有其他解决此问题的方法？

- Deepak Yadav

这个问题有很多活动。这是来自某种编程竞赛、问题集或类似的东西吗？ - templatetypedef

1个回答

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可以查看英文原文，
原文链接

- templatetypedef · Accepted Answer

异或运算符有一个很好的性质：对于任何值x，都存在一个唯一的y值，使得x⊕y=k。具体来说，这个y值由x⊕k给出，因为

(x ⊕ k) ⊕ k = x ⊕ (k ⊕ k) = x ⊕ 0 = x.

因此，想象一下从左到右扫描数组。每次看到一个新元素时，它可以是：

1. 新子序列的开头，目前长度为1。 2. 继续现有的子序列，但仅当x⊕k在它之前出现在序列中时。如果x⊕k确实出现了，那么带有此属性并以x⊕k结尾的最长子序列的长度将等于1加上以x⊕k结尾的具有此属性的最长子序列的长度。

这为这个问题提供了一个相对简单的算法。维护一个哈希表或BST，将先前看到的值映射到以该值结尾的具有此属性的子序列的最大长度。从左到右扫描数组。对于每个元素x，计算x⊕k并检查它是否在表中。如果是，则记录x的长度为m+1，其中m是存储在x⊕k上的长度。如果不是，则记录x的长度为1。

使用BST需要确定性O(n log n)时间，使用哈希表则需要期望O(n)时间。