在C#中，我该在哪里找到机器精度？

Question

机器epsilon通常定义为加一后与一不同的最小数字。

虽然有Double.Epsilon，但名称非常误导：它是可表示的最小（非规范化）Double值，因此对于任何类型的数值编程都没有用。

我想获取Double类型的真正epsilon，以便不必在程序中硬编码公差。我该怎么做？

- Alexandre C.

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相关：http://www.johndcook.com/blog/2010/06/08/c-math-gotchas/ - AakashM

@AakashM：我看过了。在IEEE754的视角下，epsilon的含义相当清晰，微软做出这种业余的事情真是可惜。他们的浮点数实现值得信赖吗？ - Alexandre C.

@AlexandreC.：Double.MinValue 很可能是定义为与 .NET Framework 中的其他 MinValue 字段相对应，例如 Int32.MinValue、DateTime.MinValue 等。这显然与 C 中的 DBL_MIN 不同。但是，我同意 Double.Epsilon 的定义令人困惑。 - Martin Liversage

Answer 1

在我的机器上：

   1.11022302462516E-16

你可以轻松地计算它：

        double machEps = 1.0d;

        do {
           machEps /= 2.0d;
        }
        while ((double)(1.0 + machEps) != 1.0);

        Console.WriteLine( "Calculated machine epsilon: " + machEps );

已修改：

我计算了 2 倍的 epsilon，现在应该正确了。

- Meonester

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@Meonester，您的意思是每次都将machEps除以4（一次在主体中，一次在条件中）吗？如果我省略条件除法（即while ((double)(1.0 + (machEps)) != 1.0);），则machEps的值为1.11022302462516E-16。 - AlanT

@AlanT 没错，这与 Math.NET 代码所示的相符。 - Christian.K

是的，你说得对：Epsilon = 1.11022302462516E-16。应该是： while ((double)(1.0 + (machEps)) != 1.0); - Meonester

@Meonester 如果你已经在进行中，那么你应该相应地编辑你的答案。 - Christian.K

第一次不是对的吗？当循环终止时，(1.0 + machEps) == 1.0，这不是我们想要的。我们想要最后一个值，使得(1.0 + machEps) != 1.0。 - Rup

Answer 2

Math.NET库定义了一个Precision类，其中有一个DoubleMachineEpsilon属性。

您可以查看它们的实现方式。

根据它的解释，DoubleMachineEpsilon是：

    /// <summary>
    /// The base number for binary values
    /// </summary>
    private const int BinaryBaseNumber = 2;

    /// <summary>
    /// The number of binary digits used to represent the binary number for a double precision floating
    /// point value. i.e. there are this many digits used to represent the
    /// actual number, where in a number as: 0.134556 * 10^5 the digits are 0.134556 and the exponent is 5.
    /// </summary>
    private const int DoublePrecision = 53;

    private static readonly double doubleMachinePrecision = Math.Pow(BinaryBaseNumber, -DoublePrecision);

根据这个来源，它是1,11022302462516E-16。

- Christian.K

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这是相当复杂的位操作，需要了解更多关于 System.Double 的内部表示方式，而我还没有准备好去处理它（这不仅仅是 IEEE754 的问题，还涉及字节序等问题）。 - Alexandre C.

@Alexandre：我敢肯定IEEE-754规范本身就要求使用内部二进制表示法。这里有一个关于“double”的内部机制的良好描述链接。同时，还有Jon的DoubleConverter.cs类的链接；查看它可能会提供一些线索。 - LukeH

@LukeH：现在我注意到微软甚至不能正确使用最基本的术语，我不能假设他们的浮点实现对所有目的都是正确的。 - Alexandre C.

浮点数的大部分实现都是硬件实现，所以我怀疑没有太多需要担心的。无论如何，在Double.Epsilon的文档页面上都没有提到“机器epsilon”，这才是你想要的正确术语，所以我不确定它是否令人困惑。 - Rup

@Alexandre, @Rup：...而IEEE-754根本没有定义“机器epsilon”，所以double.Epsilon和机器epsilon不同这个事实，与Microsoft的FP实现是否正确完全无关。 - LukeH

Answer 3

直接硬编码数值：

const double e1 = 2.2204460492503131e-16;

或者使用二的幂次方：

static readonly double e2 = Math.Pow(2, -52);

或者使用您自己的定义（或多或少）：

static readonly double e3 = BitConverter.Int64BitsToDouble(BitConverter.DoubleToInt64Bits(1.0) + 1L) - 1.0;

请查看维基百科：机器精度了解更多信息。

- Jeppe Stig Nielsen

Answer 4

LAPACK + DLAMCH，64位英特尔处理器，C#：

var pp = double.Epsilon; // pp = 4.94065645841247E-324
double p = NativeMethods.MachinePrecision('S'); // =DLAMCH('S') 
p = 2.2250738585072014E-308
double.MinValue = -1.7976931348623157E+308
double.MaxValue =  1.7976931348623157E+308

- Erik

Answer 5

关于Meonester的程序： 实际上，在do ... while循环结束时，machEps的值是这样的：1+machEps == 1。 要获取机器精度，我们必须回到先前的值，在循环后添加以下内容： machEps *= 2.0D; 这将返回2.2204460492503131e-16，与Microsoft文档中Double.Epsilon的建议一致。

- GiorgioITA