霍夫变换公式

Question

我一直在想为什么霍夫变换使用 rho=xcos(theta) + ysin(theta) 来表示一条直线 (y=mx+b)。我试图自己推导（并查看了维基百科的文章），但是找不到如何从一个式子推导出另一个式子。

有人知道如何从一个式子推导出另一个式子吗？

提前谢谢。

- Cenoc

Answer 1

推导：

方程 x/a + y/b = 1:

• 定义了一条直线
• 具有x截距= a
• 具有y截距= b

从三角学中，回想一下如何通过旋转角度 t 的光线根据 (angle=t, radius=1) -> (x=cos(t), y=sin(t))* 投影到x和y轴上。

在标记点处绘制切线。三角学（或甚至是相似三角形的几何学）告诉我们，切线交于 x=1/cos(t)，y=1/sin(t)。因此，距离1的直线将具有 a=1/cos(t) 和 b=1/sin(t)，并因此由 x/(1/cos(t)) + y/(1/sin(t)) = 1 描述...

... 这只是 cos(t) x + sin(t) y = rho，其中 rho=1

您可以看到，rho 对应于该直线距原点的距离（通过玩弄方程或注意到这里的乘法只是按相同数量缩放所有值，从而有效地重新调整网格）。

---

*请参见 http://en.wikipedia.org/wiki/File:Unit_circle.svg 来源

- ninjagecko

---

感谢您的解释。 - Vignesh

Answer 2

那只是从线性坐标系转换为旋转坐标系。这是在维基百科文章中概述的原因: 在霍夫变换中，一个主要思想是考虑直线的特征不是作为图像点(x1,y1),(x2,y2)等，而是用其参数表示，即斜率参数m和截距参数b。基于这个事实，直线y=mx+b可以表示为参数空间中的一个点(b,m)。然而，人们面临的问题是垂直线会产生参数m和b的无界值。出于计算原因，在Hough变换中使用另一组参数r和θ（theta）来表示直线更好。而要在两者之间进行转换，可使用方程y=-(cos(theta)/sin(theta))x+r/sin(theta)。因此，m=-(cos(theta)/sin(theta))，b=r/sin(theta)。当sin(theta)=0或theta=0时，这些显然会崩溃，这就是为什么更喜欢旋转坐标系（对于具有无限斜率的直线没有任何问题）的原因。

- CanSpice

---

我理解了其他部分，但我不明白为什么m = -(cos(theta)/sin(theta))和b = r/sin(theta)...（有点尴尬），其他的都很清楚。 - Cenoc

斜率是上升与下降之比，所以应该是 sin(theta)/cos(theta)，不是吗？ - Jonathan M

@JonathanM：如果您正在测量从原点到 y=mx+b 线的斜率，那么这将是正确的。然而，您并没有这样做，而 y=mx+b 线的斜率等于从该线到原点的正切线的负倒数。如果您查看 ninjagecko 的答案，您会发现这意味着 m = -(cos(theta)/sin(theta))。 - CanSpice

Answer 3

极坐标系是一个二维坐标系，它有一个参考点（例如原点）称为极点和从极点出发的线称为极轴。极坐标系中每个点都表示为(rho, theta)，其中'rho'是极点（原点）与该点之间的距离，'theta'是极轴与连接极点和该点的线之间的角度。请参见这里。

可以使用以下三角函数方程将极坐标(rho, theta)转换为笛卡尔坐标(x, y)。

x = rho cos theta       ----(1) 
y = rho sin theta       ----(2)

请参考这里了解更多信息。

我们如何得到上述方程？

这些方程使用直角三角学的概念。

请参见这里的图片。

cos theta = adjacent-side/hypotenuse = x/rho,  thus we get (1)     
sin theta = opposite-side/hypotenuse = y/rho,  thus we get (2)
and Pythagorean theorem says,
hypotenuse^2 = adjacent side ^2 + opposite side^2, so
rho^2 = x^2 + y^2       ----(3)

现在让我们推导笛卡尔坐标系（x，y）和极坐标系（rho，theta）之间的关系。

rho^2 = x^2 + y^2       ---- from (3)
rho^2 = x*x  +  y*y
rho^2 = x(rho cos theta) + y (rho sin theta)   ---- from (1) and (2)  
rho^2 = rho(x cos theta + y sin theta)
rho = x cos theta + y sin theta

- user10369021

---

即使代码可以解决问题，请提供一些额外的解释。 - smn.tino

给审核人员：这不是代码，而是问题中要求的方程式推导。给答案作者：如果您在回答前加上一些文字说明，就可以避免人们误解您的答案，并且可能使答案更有用。 - Cris Luengo

感谢您的建议。已添加文本。 - user10369021

Answer 4

每对 rho, theta 都与给定直线上的一个 x,y 对相关联，其中距离原点的距离 rho 在角度 theta 处将您放置在该直线上的 x,y 坐标。

使用 rho, theta 方程而不是 y=mx+b 方程，以便可以将一系列 rho, theta 值放入方程中，而不会出现计算问题，这些问题在 y=mx+b 方法中出现，其中斜率未定义（即，该直线是垂直的）。

- Jonathan M

---

每个（rho，theta）对都涉及到一系列的（x，y）对，因为它描述了一条直线。就像（m，b）对描述了一系列的（x， y）对一样。它不是一个单独的（x，y）对。 - Cris Luengo

我真的不记得回答过这个问题了。 :) - Jonathan M