JavaScript随机数与加权概率

Question

我将尝试创建一个带有以下签名的函数：

function weightedRandom (target, probability) {
  // calculate weighted random number that is more likely to be near target value
  return value; // number from 0 to 1
}

它应该做到以下几点：

• 生成从0到1之间的随机数，但不包括1
• 在该范围内选择任意给定数字的概率并非均匀分布
• 被选中的数字靠近目标值（目标值也是0到1之间的值）的概率更大
• 概率曲线看起来像钟形曲线，其中目标值具有最高概率，其周围的值逐渐减少，但在0到1范围内的所有值仍然有可能被选中。
• 这种机会的权重可以使用"probability"值进行调整，其中0表示没有对随机性施加任何加权，而1则表示几乎所有选定的数字都将聚集在目标值周围。

例如，weightedRandom(0.8, 0.2)会产生一个随机值，有20%的可能性聚集在值0.8周围，但可以是从0到1的任何数字。如果概率为0.5，则返回的随机值更多地接近0.8。我认为可能需要另一个参数来定义群集的宽度（标准差？）。

我不是数学家，但被告知可以考虑Beta分布作为可能的工具。

我找到了一些拥有“beta”功能的NPM模块，但我不确定如何使用它们来解决这个问题：

• https://github.com/AndreasMadsen/mathfn
• https://github.com/jstat/jstat

- Tauren

Answer 1

TLDR: 随机选择两个较简单的分布，也称反变换抽样。

结合两个分布

如果您有一个平坦分布，您可以等概率地选择范围内的任何值。如果您有一个高斯分布，则可以选择接近高斯均值的值。因此，请考虑随机选择执行其中之一。

如果您希望随机值在目标t 80％的时间接近该值，在其他时间接近另一个值20％的时间，则假设“接近”意味着在2个标准差内，并且我们将方差取为v。因此，范围(t-2*v)到(t+2*v)需要覆盖P(0.8)。

假设我们将随机使用平坦分布或高斯分布；一个随机值落在给定范围内的概率是两个分布的加权和，权重为分布选择的偏差。如果我们选择高斯分布，则最终得到的值95.45%的时间在2个标准差内。如果我们X%的时间采用高斯分布，则近似概率Pn = P（t-2v至t+2v）= 0.9545*X +（1-X）（4v / r），其中r为完整范围，（4v / r）是范围内平坦分布的比例。

要使Pn达到80％：

0.8 = 0.9545*X + (1-X)(4v/r). 

我们有两个未知数，因此如果我们还需要一个非常接近的概率，即值在目标值的1个标准差范围内60％的时间内，则

0.6 = 0.6827*X + (1-X)(2v/r). 

重新排列成 (2v/r)：

(0.8 - 0.9545*X)/(1-X)*2 = (2v/r)
(0.6 - 0.6826*x)/(1-X) = (2v/r)

等式化简

X = 0.81546

因此：

var range = [0, 10];
var target = 7.0;
var stddev = 1.0;
var takeGauss = (Math.random() < 0.81546);
if(takeGauss) {
  // perform gaussian sampling (normRand has mean 0), resample if outside range
  while(1) {
    var sample = ((normRand()*stddev) + target);
    if(sample >= range[0] && sample <= range[1]) {
      return sample;
    }
  }
} else {
  // perform flat sampling
  return range[0]+(Math.random()*(range[1]-range[0]));
}

我认为这个方法可以帮助您得到所需的形状，让您选择近似概率和非常接近概率的两个概率，但避免了过多的复杂性。

由于要求我提供更多实现，我找到了一个正常变量生成器（感谢Ian Neath教授）：

function normRand() {
    var x1, x2, rad;

    do {
        x1 = 2 * Math.random() - 1;
        x2 = 2 * Math.random() - 1;
        rad = x1 * x1 + x2 * x2;
    } while(rad >= 1 || rad == 0);

    var c = Math.sqrt(-2 * Math.log(rad) / rad);

    return x1 * c;
};

反变换抽样

我考虑的第一种方法是使用反变换抽样，在这里我将尝试解释它。

假设我们有一个分布，其中从0到4的值是等可能的，但是从4到10的值只有从0到4的一半可能性大。总概率为4a + 6(2*a) = 1，因此a=1/16：

假设您有一个函数，当给定0到1之间的值时，会产生0到10之间的值；它仍然是单调的（没有最小/最大值），但如果您从0到1每0.01递增地提供它，您将得到4：6*2的比率= 1：3，因此超过4的值是低于4的值的3倍。该函数如下所示：

我们有一个从z=0到z=1/3的线性段，其中x(1/3)=4，然后从z=1/3到z=1的线性段延续到x(1)=10。如果我们从0到1之间的平坦概率分布中选择一个随机数z，则x(z)将被分布，前1/3的范围内的值最高为4，其余部分在此之上。

因此，z(x)是一个反变换，它采用平坦分布并产生所需分布的值。如果您想绘制它，它是x<(1/3) ? 9*x : 12*x -1。

游戏的目标是构建您满意的分布，并对其进行反转以获得反变换，可以通过使用以上部分或通过解析反转它或某些近似（高斯反转不能解析地写下）来实现。通过这个，您可以将任何平坦分布的样本转换为所需的分布。

从上述步骤分布中进行取样应该像这样进行：

// transform 0-1 flat to 0-10 stepped
function stepInvTransform(z) {
    return (3*z < 1 ? 9*z : (12*z - 1));
}

// sample via inv transform
var sample = stepInvTransform(Math.random());

- Phil H

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我真希望我能为您深入且数学严谨的回答提供多个赞！但是，我不确定如何将其转换为实现。如果您能提供一些伪代码，那将非常有帮助。我需要一些时间来处理这个问题，并尝试将所有的数学内容转换成符合所需签名的JavaScript函数。 - Tauren

虽然你的回答很有趣且富有教育性，但我认为它更像是程序员/计算机科学交流风格的回答，而不是适合在SO上的回答。这个网站是用于解决与_具体的、与代码相关的_问题的问答。添加一些理论来解释你的答案是可以的，但仅提供理论会使这个答案不完整。 - Elias Van Ootegem

+1个好答案。对你而言，像“添加代码”这样的备注肯定让你很沮丧 —— 这绝不是重点 :) - Benjamin Gruenbaum

@EliasVanOotegem：我理解你的观点，尽管问题确实更偏向于抽象而非实现。无论如何，我已经找到了一个高斯样本生成器并填补了空白。BenjaminGruenbaum：我不会太在意 :) - Phil H

@PhilH：我知道我的评论可能有点学究，而且是的，这个问题本身更关注理论而不是实际代码，所以实际上这个问题并不适合这个网站。无论如何，你可能想要改变你添加到setInvTransform(x)的函数，而不是z，因为函数体始终使用x。无论如何还是+1。 - Elias Van Ootegem

Answer 2

我会将范围扩展 (Math.round()*2)，然后使用一些其他函数 f: [0,2] -> [0,1]，它不是1-1映射回0-1区间，但将更多的值映射到0.8的区域。例如，f(x) = c*x^2 - d*x^3，并调整c和d以适应您的分布情况。

请参见this。您可以随意玩弄数值或导出函数并查看c和d如何交互。当然，您可以使用其他函数来获得更高的精度，例如更高次数的多项式或将多项式与指数函数混合以获得各种行为，但这取决于您真正想要什么，以及您希望它如何表现。

- Ramzi Khahil

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好想法，但我不确定如何应用它们。问题在于0.8只是一个例子，而此函数需要支持从0到1的任何目标。我仍然需要找到一种自动化的方法来找到任何给定目标的适当c和d值。您有没有关于如何做到这一点的想法？ - Tauren

好的，我会拿一张纸，推导出函数，然后尝试用“0.8”和“0.2”表达c和d的值。然后，你可以把这个放进代码里面，也就是CalcCD(0.8,0.2) - 这将输出c和d的值。从那里开始，你只需要应用上述步骤。*注：数学部分可能有点烦人，但如果你找不到一个能完成工作的包，这样做还是值得的。 - Ramzi Khahil

Answer 3

好的，概率是一件相当容易的事情:

//get the probability factor:
var prob = +(probability.charAt(2));//0.[2] <-- coerces 2 to number

这是你将给予随机数生成器的尝试的最大次数。但是，考虑到你接近目标的程度，我们可能需要使用while循环来实现。

var targetDigit = (''+ target).charAt(2),
    prob = +((''+probability).charAt(2)),
    rn,
    closest = 0;//keep track of closest hit
if (probability == 0)
    return Math.random();
do
{
    rn = Math.random();
    //reduce chances for too great of distances, regenerate, but don't count!
    if (Math.abs(rn.toFixed(1).charAt(2)-targetDigit) >= target/2)
        rn = Math.random();
    if (rn.toFixed(1).charAt(2) === targetDigit)
        return rn;//on the money
    if (Math.abs(target - rn) < Math.abs(target - closest))
        closest = rn;
} while (prob--);//while probability left
return closest;//return the closest generated value

当我使用参数 .8 作为目标，.4 作为概率尝试运行此代码时，我得到了以下返回值：

0.8257349738919855 // hit!
0.7696360136541552 // -0.1, close
0.7542727420001457 // -0.1, close
0.9837384401271013 // +0.1, close
0.3078854698178465 // -0.5, far
0.8178311114230021 // hit!
0.6079441227457084 // -0.2, fairly close

我理解你的意思是，这与你预期的相近。

- Elias Van Ootegem

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有趣的方法，我会尝试一下，看看结果是否足够接近满足我的需求。 - Tauren