所有的 Haskell 函子都是自函子吗？

Question

我有点困惑，需要有人给我指正一下。让我们概述一下我的当前理解：

其中E是一个自函子，A是某个范畴：

E : A -> A.

既然Haskell中的所有类型和态射都在Hask范畴中，那么在Haskell中任何一个函子不也是一个自函子吗？F：Hask -> Hask。我有一种强烈的感觉我错了，并且以某种方式过于简单化了，希望有人能告诉我我是个白痴。谢谢。

- Jonathan Sterling

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在“Where E...”之前是否缺少某个单词？ - kennytm

Answer 1

您可能需要澄清您是否在询问"Haskell中的函子"或Functors。当在Haskell中使用范畴论术语时，不总是清楚正在假定哪个类别。

但是，默认的假设是Hask，它被视为具有函数作为态射的Haskell类型的类别。在这种情况下，对于Hask上的任何类型A，一个自函子F将把其映射到类型F(A)，并且对于两个类型A和B之间的任何函数f，它将把其映射到一些类型F(A)和F(B)之间的函数F(f)。

然后，如果我们仅限于那些将任何类型a映射到具有种类* -> *的类型构造函数f的类型，则我们可以将函数的相关映射描述为具有类型(a -> b) -> (f a -> f b)的高阶函数，这当然是称为Functor的类型类。

然而，人们可以轻松地想象出在Hask上表现良好的自函子，这些自函子不能（直接）写成Functor的实例，例如将类型a映射到Either a t的函子。虽然从Hask到完全不同的另一个类别的函子显然没有多少意义，但考虑从Hask到Hask^op的（反变）函子是合理的。

除此之外，Functor 的实例必然从整个范畴 Hask 映射到其中的某个子集，因此也形成了一个范畴。但是谈论在 Hask 的子集之间的函子也是合理的。例如，考虑将类型 Maybe a 发送到 [a] 的函子。

您可能希望浏览 category-extras 包，它提供了一些类别论启发的结构，嵌入到 Hask 中，而不是假设整个 Hask。

- C. A. McCann

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这有点跑题，但我想要确认我的理解：从Maybe a到[a]的映射可以有多种方式来思考： （a）一个函子，其中Maybe和[]形成Hask的子范畴。 （b）一个自然变换，其中Maybe和[]在Hask上形成了恒等函子。 （c）一族态射，在范畴Hask中从Maybe a到[a] forall a in Obj(Hask) 。这全部正确吗？ - Tom Crockett

附录：（a）和（b）当然取决于映射分别满足函子和自然变换的法则。可以说，如果函子法则对于（a）得到满足，那么同样的映射也可以看作是（b），反之亦然，这种说法是否公平？ - Tom Crockett

@Tom：我觉得是吧？这个听起来对我来说是正确的。事实上，我认为具有类型 forall a. Maybe a -> [a] 的任何函数 必须 是自然变换。例如，Data.Maybe 中的 maybeToList 或足以描述你提到的所有内容，但是我的范畴论理解相当有限，所以不要把它当作圣经一样... - C. A. McCann

@Jonathan：那将是Hask的双重类别，它具有与Hask相同的对象，但所有态射都被反转。请参见http://en.wikipedia.org/wiki/Opposite_category。 - Tom Crockett

@Jonathan Sterling：同意 @Tom 的观点。在 Haskell 中，一个简单的例子是一个函子将任何类型 a 映射到类型 (a -> t)，其中 t 是一个固定的类型，并将任何函数 a -> b 映射为函数 (b -> t) -> (a -> t)。这是标准的 Functor 的对偶映射，它将 a 映射到 (t -> a)（其中 t 为固定类型），更为人熟知的是 Reader 单子。 - C. A. McCann

Answer 2

即使最终您会操纵Hask，还有很多其他类别可以建立在Hask之上，这些类别对于手头的问题可能是有意义的：

• Hask^op，它是具有所有箭头反转的Hask
• Hask * Hask，其上的函子是双函子
• 逗号范畴，即对象是到固定对象a的态射，态射是可交换三角形
• 函子范畴，态射是自然变换
• 代数范畴
• 单调范畴
• Kleisli 范畴
• ...

获取 Mac Lane 的 Categories for the Working Mathematician 以获得定义，并尝试自己找出它们在 Haskell 中解决的问题。特别是关注伴随函子（它们是正确范畴中的初始/终止对象）及其与单子的关系。

您将看到，即使有一个大类别（Hask，或者可能是“从Hask提升了正确的箭头/乘积的对象”，它封装了 Haskell 的语言选择，如非严格性和惰性计算），适当的派生类别也是有表达力的。

- Alexandre C.

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非常感谢。我可能会查看那本书。 - Jonathan Sterling

请注意，阅读本书时必须有一个“目的”（如函数式编程、代数几何或其他），因为它在示例方面非常简洁，而你需要提供自己的示例。尽管如此，这使得本书非常灵活，适用于非常多元化背景的科学家们。 - Alexandre C.

Answer 3

关于单子（monads）的讨论，可能会有一些相关（或者至少是有趣的）内容可以在文章“单子不必是自函子”的链接中找到：

http://www.cs.nott.ac.uk/~txa/publ/Relative_Monads.pdf

- Gian

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就此而言，标准范畴论意义下的单子确实被定义为自函子，而 Monad 类型类则是一个更狭窄的概念，与我描述 Functor 相同的方式，但由于 Hask 的非常侵入性笛卡尔闭结构而导致了一些额外的复杂性。 - C. A. McCann