Python浮点数除法的相等性

Question

使用Python 3，以下代码如何返回True?

a = 2/3
b = 4/6
print(a == b)

我有一个算法，需要对一个数字列表进行排序，其中每个数字都是x/y形式的，其中x和y是整数。(y != 0)。

我担心除法的数值精度会导致不稳定性和任意排序，例如上面的情况。这是相关评论的一个例子。但是，根据这个例子和更大的整数，似乎这不是一个问题。

Python是否从b的分子和分母中删除2的公共因素，并保留a和b不仅仅是浮点数的信息？

- Jake

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抱歉，我没能理解你的问题。难道不是吗？这里有什么需要关注的呢？ - Keerthana Prabhakaran

{btsdaf} - tokenizer_fsj

{btsdaf} - Kevin

Answer 1

Python遵循IEEE 754浮点数规范。* （64位）IEEE浮点数本质上是一种基于科学计数法的形式，如下所示：

• 一位用于符号（正或负）
• 53位用于尾数或有效数字，包括隐含的前导位。
• 11位用于指数。

将浮点数值乘以二或任何二的幂，只会影响指数，而不影响尾数。** 因此，它通常本身是一个相当“稳定”的操作，因此2/3应该产生与4/6相同的结果。 然而，IEEE浮点数仍然存在以下问题：

• 大多数运算不满足结合律（例如，一般情况下 (a * b) * c != a * (b * c)）。
• 更复杂的运算不要求正确舍入（然而，正如 Tim Peters 指出的那样，除法显然不是一个“更复杂”的运算，因此将被正确舍入）。***
• 中间结果总是舍入为53位。

您应该准备好处理这些问题，并假设大多数数学上等价的浮点表达式将不会产生相同的值。在 Python 中，您可以使用 math.isclose() 来估计两个浮点数是否“足够接近”，以便“可能是相同的值”。

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* 实际上，这是一个谎言。 Python 遵循 C 的 double，通常以某种方式遵循 IEEE 754，但在足够奇特的架构上可能会偏离它。在这种情况下，C 标准提供了很少或没有保证，因此您将不得不查看您的架构或编译器的浮点文档。

** 假设指数不会溢出或下溢。如果发生这种情况，则通常会落在适当签名的无穷大或零上，或者根据架构和/或 Python 编译方式下溢到一个denormal number。

*** “更复杂”的操作的确切集合有所不同，因为 IEEE 754 使许多操作变成可选项，同时要求精度。结果，很少明显是否给定操作符符合 IEEE 754 还是仅符合声名疏于 C 标准的规范。在某些情况下，操作可能根本不符合任何标准。

- Kevin

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{btsdaf} - Jake

Answer 2

请注意，只要整数x和y在Python浮点数中精确表示，x / y就是无限精确商的正确舍入值，在所有当前的机器上都是如此。这是IEEE 754浮点标准所要求的，并且所有当前的机器都支持。

因此，在您具体的示例中，重要的部分不是b = 4/6中的分子和分母有一个（特定！）公因数2，而是(a)它们有一些共同的因数; 和(b) 4和6都可以精确地表示为Python浮点数。

因此，例如，保证

(2 * 9892837) / (3 * 9892837) == 2 / 3

同样适用于这种情况。因为(2 * 9892837) / (3 * 9892837)的无限精确值与2/3的无限精确值相同，而IEEE 754除法会像计算出无限精确商一样进行计算。只要这些乘积在Python浮点数中保持完全可表示，就可以将9892837替换为任何其他非零整数。

- Tim Peters

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2和2.0与这个例子的运行原理没有任何关联。 (n*x)/(n*y) == x/y 对于任意使得n*y不为0的整数而言都是成立的，并且n*x和n*y都可以精确表示为Python浮点数。 - Tim Peters

{btsdaf} - Kevin

Answer 3

2/3 等同于 4/6。 (2/3)*(2/2) = 2/2 = 1，这是恒等元素。回答正确。

- Python Jim

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{btsdaf} - rayryeng