Stan. 使用 target += 语法

Question

我开始学习Stan。

有人能解释一下如何使用...这样的语法吗？

target +=

不是只有：

y ~ normal(mu, sigma)

例如，在Stan手册中，您可以找到以下示例。

model {
real ps[K]; // temp for log component densities
sigma ~ cauchy(0, 2.5);
mu ~ normal(0, 10);
for (n in 1:N) {
for (k in 1:K) {
ps[k] = log(theta[k])
+ normal_lpdf(y[n] | mu[k], sigma[k]);
}
target += log_sum_exp(ps);
}
}

我认为目标行增加了目标值，我认为它是后验密度的对数。
但是哪个参数的后验密度呢？

它是何时更新和初始化的？

在Stan完成（并收敛）后，如何访问其值以及如何使用它？

其他例子：

data {
  int<lower=0> J;          // number of schools 
  real y[J];               // estimated treatment effects
  real<lower=0> sigma[J];  // s.e. of effect estimates 
}
parameters {
  real mu; 
  real<lower=0> tau;
  vector[J] eta;
}
transformed parameters {
  vector[J] theta;
  theta = mu + tau * eta;
}
model {
  target += normal_lpdf(eta | 0, 1);
  target += normal_lpdf(y | theta, sigma);
}

上面的例子使用了两次target而不是一次。

另一个例子。

data {
int<lower=0> N;
vector[N] y;
}
parameters {
real mu;
real<lower=0> sigma_sq;
vector<lower=-0.5, upper=0.5>[N] y_err;
}
transformed parameters {
real<lower=0> sigma;
vector[N] z;
sigma = sqrt(sigma_sq);
z = y + y_err;
}
model {
target += -2 * log(sigma);
z ~ normal(mu, sigma);
}

这个最后的例子甚至混合了两种方法。

为了让它变得更加困难，我已经阅读过了。

y ~ normal(0,1);

具有与...相同的效果

increment_log_prob(normal_log(y,0,1));

请问有人能解释一下原因吗？

请问有人可以提供一个简单的例子，用“target +=”和常规更简单的“y~”方式分别编写，谢谢。

谢谢！

- skan

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您IP地址为143.198.54.68，由于运营成本限制，当前对于免费用户的使用频率限制为每个IP每72小时10次对话，如需解除限制，请点击左下角设置图标按钮（手机用户先点击左上角菜单按钮）。 - IRTFM

我的问题只是“如何以及为什么使用target +=？”。 其余的内容只是一些例子和解释。 - skan

那么，请不要在不相关的语言和包含中添加无关材料和标签。 - IRTFM

好的，已删除标签。 - skan

Answer 1

语法

target += u;

将"u"加到目标对数密度中。

目标密度是采样器从中采样的密度，它需要等于给定数据下所有参数的联合密度的常数倍（通常通过Bayes规则编码为参数和建模数据的联合密度来实现）。在后验中，您可以通过lp__访问它，但要小心，因为它还包含由约束引起的Jacobian并且在采样语句中删除常量——您不希望将其用于模型比较。

从采样的角度来看，写作：

target += normal_lpdf(y | mu, sigma);

具有相同的效果，就像

y ~ normal(mu, sigma);

_lpdf表示正态分布的对数概率密度函数，在抽样符号中隐含。抽样符号只是目标+=语法的简写，并且在对数密度中省略常数项。

这在语言参考手册的语句部分（手册的第二部分）中有解释，并在程序员指南（手册的第一部分）中的多个示例中使用。

- Bob Carpenter

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感谢您的详细解释。为什么 y ~ 语法不使用加法，而目标 += 却使用了呢？ - skan

在同一模型中使用两个“target +=”行怎么样？有些示例这样做。 - skan

对数密度是一个持续的总和，target += 语句只是增加它。您可以有任意数量的 ~ 语句和 target += 语句。 - Bob Carpenter

+= 符号遵循通常的编程语言约定（尽管变量目标是内置的），而抽样语句符号则遵循 BUGS 和统计符号约定。 - Bob Carpenter

“target +=”版本在处理离散变量时总是必需的，因为这是将它们边缘化的唯一方法，不是吗？ - skan

这也是一个有用的资源：https://mc-stan.org/docs/2_29/reference-manual/increment-log-prob.html - gimi

Answer 2

我刚开始学习Stan和贝叶斯统计，主要依靠John Kruschke的书"Doing Bayesian Data Analysis"。在第14.3.3章节中，他解释道：

因此，在Stan中进行计算的本质是处理后验概率密度及其梯度的对数；没有直接从分布中随机抽样参数。

因此（仍在重新表述Kruschke），一个如y∼normal(mu，sigma)的模型实际上意味着将当前的后验概率乘以数据值y处正态分布的密度。

根据对数计算规则，这个乘法等于将给定数据y的对数概率密度加到当前的对数概率中。（log(a*b)=log(a)+log(b)，因此乘法和求和相等）。

我承认我没有完全理解其全部含义，但我认为它指向了正确的方向，就数学而言，targer += 是做什么的。

- Lukas