将定价优化表述为混合整数线性规划问题（MILP）

Question

我不确定是否可以线性地表述以下问题，还是应该尝试非线性优化。

我希望找到一个产品的固定费用F和变量价格p的最佳组合。

我有给定数量的n个客户，每个客户都想购买数量为qi的产品，他们愿意支付wi的总价。

我的目标是最大化收入：对于所有客户i∈n，max sum(F+qi*p)。

我的决策变量当然是F和p，以及n个二进制变量si，表示客户是否购买。

我在构建这个问题和约束方面遇到了困难，因为有些客户的购买意愿非常低。

显然有约束条件F+qi*p<=wi，但这仅适用于购买的客户。我想要施加类似于si*(F+qi*p)<=wi的东西，但这显然不是线性的。

希望以上内容有意义，并感谢您提前的任何帮助。

- Ingmar

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这被称为“固定费用问题”。这是一个众所周知的问题。标准公式可以在谷歌上找到。 - Erwin Kalvelagen

感谢您的评论！我很可能错了，但据我了解，固定费用问题是关于最小化已知固定和可变“费用”的总成本 - 通常是生产或运输成本。在我的情况下，“费用”本身是一个决策变量，价格必须确定以优化收入。 - Ingmar

为什么不使用NLP with gekko呢？ - undefined

对于MILP（混合整数线性规划）的这个公式，请提供翻译后的文本。 - undefined

Answer 1

让我再试一次。

我们可以将问题陈述为：

：

 max sum(i,  s(i)*(F+p*q(i))) 
     s(i)*(F+p*q(i)) ≤ w(i)
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0

这可以线性化为：

 max sum(i, y(i))
     y(i) ≤ F+p*q(i)
     y(i) ≤ s(i)*w(i)
     y(i) ≥ F+p*q(i) - (1-s(i))*M
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0, y(i) ≥ 0
     with M a large enough constant

许多求解器允许使用指示器约束。这将简化事情：

 max sum(i, y(i))
     s(i) = 1 ==> y(i) = F+p*q(i)
     y(i) ≤ s(i)*w(i)  
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0, y(i) ≥ 0      

或者使用两个指示器约束：

 max sum(i, y(i))
     s(i) = 1 ==> y(i) = F+p*q(i)
     s(i) = 0 ==> y(i) = 0
     for variables s(i) ∈ {0,1}, p ≥ 0, F ≥ 0, y(i) ∈ [0,w(i)]      

- Erwin Kalvelagen