如何在已知中心点 cx 和 cy 以及重心圆的半径的情况下绘制等边三角形？
另外，如何判断一个点是否在三角形内部？
注：我正在为 android 构建此功能，但该问题与编程语言无关。
给定中心点，如何画一个等边三角形？
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- Gautam
6个回答
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关于您的第一个问题
在上图中，点C很简单，它就是 (cx, cy + r)。
我可以想到两种相当容易的方法来得到点a和b：
第一种方法：假设 (cx, cy) 是原点，通过将点C分别旋转60度和120度来得到a和b。这可以使用下面的公式实现：
- b.x = c.x * cos( 120度 ) - ( c.y * sin( 120度 ) )
- b.y = c.x * sin( 120度 ) + ( c.y * cos( 120度 ) )
- a.x = c.x * cos( 240度 ) - ( c.y * sin( 240度 ) )
- a.y = c.x * sin( 240度 ) + ( c.y * cos( 240度 ) )
也可以参考维基百科上的这篇文章。
第二种方法：画一条穿过点 (c.x, c.y) 并且斜率为-30度的直线。该直线与圆相交的点将是点b。圆由以下方程定义：
( x - c.x )^2 + ( y - c.y )^2 = r^2
然后，通过从（c.x，c.y）开始的正30度角线重复相同的步骤以获得点a。
你的直线斜率将为：1 / sqrt（3）和-1 / sqrt（3）
对于第二个问题
一旦您获得了形成等边三角形的点A、B和C，最快最简单的检测点（x，y）是否在三角形中的方法之一是基于叉积和向量。
基本上，看看（x，y）是否在“向量”A->B的左侧。然后看看它是否在B->C的左侧。然后检查它是否在C->A的左侧。
以下方法摘自这里，可以让你检查一个点是否在一个向量的左侧。
public bool isLeft(Point A, Point B, Point C){
return ((B.x - A.x)*(C.y - A.y) - (B.y - A.y)*( C.x - A.x)) > 0;
}
该方法中，A = 线段的点1，b = 线段的点2，c = 待检查的点。
- Xantix
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对于像我这样懒惰的人，只想获得单位圆上等边三角形的坐标的人：
A: (-0.866, -0.5)
B: (0.866, -0.5)
C: (0.0, 1.0)
如果需要不同的位置和/或半径，请将所有值乘以r，然后将x坐标加上cx，将 y坐标加上cy。
- Robert
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2最简单的解决方案。 :) - Tiberiu Mihai
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目前，我只能回答你的第二个问题。只需进行点线相交测试，前提是您已经存储了定义三角形的点。在计算机图形书中可以找到许多相关算法。
编辑：我想出了一种解决您基本问题（查找定义具有cx、cy和半径作为给定数据的等边三角形的3个点）的方法。它依赖于任何三角形的3个角度之和为180度的属性。我需要一些时间进行进一步检查以确保它是正确的。然后，我将编辑我的答案发布它。
完整答案编辑：此算法草图的实现取决于您选择的编程语言和图形API：
- 将2D坐标系的中心（顺时针方向）转移到质心圆的中心。
- 存储定义两条直线段的2个点以及圆的中心。这些线段的并集可能给出圆的直径。两条线段都有圆的中心作为它们的1个定义点。另外2个定义点（需要存储）在圆的周长上（使用圆的半径长度找到它们）。
- 将2个点顺时针和逆时针旋转60度，使它们落在圆周上。存储它们的新坐标。画出连接它们的线段。你已经得到了三角形的2个顶点之一。
- 对坐标系中心进行反向平移。
- 三角形的剩余顶点是一个圆半径和两条线段的交点，每条线段从其各自已知的三角形顶点开始。
- 最后，存储顶点并绘制三角形。
希望这可以帮助您。我将尝试添加一些图示来澄清这种方法的步骤。此外，我将编写和测试这些步骤，以确保正确解决您的问题。
- Kapoios
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感谢，让我试试这个。它看起来相当复杂。 - Gautam
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我需要使用SVG和Javascript绘制等边三角形......我尝试了Xantix在第一个问题中的答案，以便给定一个中心点（cx，cy）和外接圆半径（r）绘制等边三角形，正如指出的那样，容易解决点C（cx，cy + r）的坐标。然而，我无法弄清楚如何获得旋转方程式来解决点A和B的坐标，因此我的解决方案如下。数学时间-解x的值。假设cx = 9，cy = 9，r = 6，并且有水平基准线。首先，找到三角形的边长（a，b，c）：
从cy + r (15 - 8.99 = 6.01)减去这个y值，就得到了点A和B的新的y坐标。
9r^2 = a^2 + b^2 + c^2
r^2 = 36, 9r^2 = 324, 324/3 = 108, sqrt(432) = 10.39
一旦我们知道了三角形的每条边的长度（s = 10.39），我们可以计算x坐标。将s/2（5.2）加到Bx（14.2）的cx上，从Ax（3.8）的cx中减去s/2。
x现在已经解决，需要y
说到s/2，如果我们沿着垂直线将三角形分成两半（从点C到A和B之间的中点），我们就可以解出y（最终给出Ay和By）：
a^2 + b^2 = c^2
a^2 + 27.04 (1/2 s squared) = 107.95 (length s squared)
a^2 = 80.91
sqrt(80.91) = 8.99
从cy + r (15 - 8.99 = 6.01)减去这个y值，就得到了点A和B的新的y坐标。
Center ( 9.00, 9.00)
C ( 9.00,15.00)
B (14.20, 6.01)
A ( 3.80, 6.01)
结论
已知等边三角形的边长后，可以通过给定中心点、外接圆半径和水平基线来计算点的坐标。
- Ragamffn
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这是我用Java（Android）绘制三角形的方法：
mA = new PointD();
mB = new PointD();
mC = new PointD();
mCos120 = Math.cos(AppHelper.toRadians(120));
mSin120 = Math.sin(AppHelper.toRadians(120));
mCos240 = Math.cos(AppHelper.toRadians(240));
mSin240 = Math.sin(AppHelper.toRadians(240));
double r = 30; // this is distance from the center to one of triangle's point.
mA.set(0 + r, 0);
mB.x = mA.x * mCos120 - mA.y * mSin120;
mB.y = mA.x * mSin120 + mA.y * mCos120;
mC.x = mA.x * mCos240 - mA.y * mSin240;
mC.y = mA.x * mSin240 + mA.y * mCos240;
mA = AppHelper.toScreenCoordinates(mCenterPoint, mA);
mB = AppHelper.toScreenCoordinates(mCenterPoint, mB);
mC = AppHelper.toScreenCoordinates(mCenterPoint, mC);
mPlayPath.reset();
mPlayPath.moveTo(mA.getX(), mA.getY());
mPlayPath.lineTo(mB.getX(), mB.getY());
mPlayPath.lineTo(mC.getX(), mC.getY());
mPlayPath.lineTo(mA.getX(), mA.getY());
mPlayPath.close();
public static PointD toScreenCoordinates(PointD center, PointD point) {
return new PointD(point.x + center.x, center.y - point.y);
}
PointD类似于PointF，但使用的是双精度类型。
- Oleksandr Albul
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这是我的Python实现，希望能帮到你：
def construct_eq_triangle(centroid, radius):
side_length = radius * math.sqrt(3)
# Calculate three vertices of the triangle
a = [centroid[0], centroid[1] + (math.sqrt(3) / 3) * side_length] # Top vertex
b = [centroid[0] - (side_length / 2), centroid[1] - (math.sqrt(3) / 6) * side_length] # Bottom left vertex
c = [centroid[0] + (side_length / 2), centroid[1] - (math.sqrt(3) / 6) * side_length] # Bottom right vertex
return a, b, c
你可以用任意值替换side_length，也可以将centroid转换为具有2个元素的tuple或list，第一个元素是x，第二个元素是y。
- HumbleBee
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