在“黑皮书”Numerical Recipes第三版中，介绍了用高斯-约旦算法解线性方程组。紧接着是一个关于计算LU分解并用它来解线性方程组的章节（详见第53页上的LUdcmp::solve）。然而，该书未解释为什么会有人更喜欢一种方法而不是另一种方法。这两种方法是否等效，抑或在特定情况下有选择某种方法的原因？
高斯-约旦消元法与LU分解的比较
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- Tyler Durden
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2或许有帮助：https://math.stackexchange.com/questions/266355/necessity-advantage-of-lu-decomposition-over-gaussian-elimination - stephan
1我提出这个问题纯粹是从算法/编程的角度，而不是数学的角度。我的经验是，数学家通常不知道为什么应该优先选择一个算法而不是另一个算法。 - Tyler Durden
1数值线性代数最好在计算科学上进行讨论 http://scicomp.stackexchange.com 请看一下，您会发现一个非常知识渊博的数值社区。 - Stefano M
2个回答
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使用LU分解的好处在于，它可以被重复使用来计算多个解决方案。
例如，如果您想要解决以下方程：
对于一个常数
这样做更快的原因是因为高斯-约旦消元法的规模为O(n^3)，但是LU分解方法的代换步骤只有O(n^2)的规模。因此，在LU情况下，你只需要为每个
关于这个问题的合理注释可以在这里找到。
例如，如果您想要解决以下方程：
Ax = b
对于一个常数
A和许多不同的b，你只需要计算一次A的LU分解，就可以在每个b上重复使用。然而，使用高斯-约旦消元法，你必须为每个b重新做所有工作。这样做更快的原因是因为高斯-约旦消元法的规模为O(n^3)，但是LU分解方法的代换步骤只有O(n^2)的规模。因此，在LU情况下，你只需要为每个
b执行昂贵的O(n^3)步骤一次。关于这个问题的合理注释可以在这里找到。
- Simon Gibbons
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因此，对于LU情况，您只需要针对每个b执行一次昂贵的O(n^3)步骤。-- 不是每个A吗？ - Jason S
嗯，对于多个b值，x = A^-1 b也是O(n^2)。高斯-约旦和LU分解都是O(n^3)。我看不出有什么优势。 - Robin Davies
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实际上，高斯-约旦算法比LU分解要快得多。编写一些C代码，你就会明白，因为在高斯-约旦算法中，你需要使用的代码和for循环比LU分解要少。
- euraad
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