`Optional`是否有van Laarhoven表示法？

Question

许多类型的光学都有van Laarhoven表示法。

例如，类型为的Lens可以表示为：

 Functor f => (a -> f b) -> s -> f t

同样地，一个 Traversal 可以用类似的方式表示，只需将 Functor 约束替换为 Applicative：

 Applicative f => (a -> f b) -> s -> f t

几个光学框架，比如 Monocle 和 Arrow 都定义了一个叫做 Optional 的类型。

在 Monocle 的光学层次结构中，Optional 位于 Lens 和 Traversal 之间。

我的理解是：如果一个 Traversal 类似于一个可以有零到多个目标的 Lens ，那么一个 Optional 就像是一个可以有零到一个目标的 Lens。

在 Monocle 中，Optional 被定义为一对函数：

getOrModify :: s -> Either t a 
set :: (b, s) -> t

Monocle源代码中的注释表明，将Optional表示为“较弱的PLens和较弱的PPrism”也是可能的。

能否将Optional表示为van Laarhoven函数？

- Joe

Answer 1

如果Functor/Applicative/Monad层次结构更加精细，就可以有一种表示方法。 特别是：

class Functor f => Pointed f where
    pure :: a -> f a

type Optional s t a b = forall f. Pointed f => (a -> f b) -> s -> f t

请注意，如果在镜头库中这个类型能够很好地融入类层次结构中，那么它很可能被命名为Affine。

- Carl

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这对于我的使用情况非常方便，我编写了一个“just for fun”的Scala Optics库，并从头开始编写了Functor层次结构，因此可以随心所欲地使用它。我是否正确地认为这表明，如果我在Functor和Applicative之间还有另一个类型类，具有liftA2但没有pure，那么这将定义具有一个到多个目标的光学？ 这有一个名称吗？ - Joe

它确实暗示了这一点。我不知道光学器件应该叫什么。 - Carl

@Joe，"semigroupoids"包中的那个中间类被称为Apply。http://hackage.haskell.org/package/semigroupoids-5.3.3/docs/Data-Functor-Apply.html#t:Apply - danidiaz

...对应的光学操作在lens包中被称为Traversal1。 - Benjamin Hodgson

如果您手写一堆van Laarhoven镜头和遍历器（非常推荐-它们不是魔法），您最终会掌握操作如何对应于数据结构中存在的目标数量。fmap处理具有单个目标的结构。pure处理没有目标的结构。(<*>)组合每个已处理目标的子结构。从这里，您可以观察到仅使用fmap和pure将让您处理0或1个目标，但不超过1个。那就是Pointed。 - Carl