!a&&(a||b)简化为什么？

Question

我对 !a&&(a||b) 有些困惑。如果我直接看并简单解释它，似乎它与以下内容相同：

!a&&a or !a&&b

但这似乎有点奇怪，因为由于a不能既是true又是false，只有在后者为true时它才会是true。我也这样解释它。

但这个解释似乎有些奇怪，因为由于变量 a 不能同时为 true 和 false，所以只有当后者为 true 时，它才会为 true。 我也这样理解它。

!a || a&&b

我真的不知道我是怎么想出这个想法的，但它看起来更合乎逻辑，因为没有矛盾。请问有人能帮我吗？

- Andy

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!a&&a 只会得到假（false），所以你只剩下 !a&&b。 - Benjamin Gruenbaum

请注意，这是建立在变量 a 的基础上的（而且它不能在计算表达式时被另一个线程修改）。如果 a 是一个方法调用，它可能会被调用两次，因此你不能总是简化它。 - ajb

请注意，如果a和b都为真，则您的最终解释将是正确的，与原始解释不同。 - Scott Hunter

这个标签打错了。它与Java无关，只是关于布尔逻辑的问题。 - Sinkingpoint

@LieRyan：这个问题是由非提问者编辑的。原始问题明确询问了关于Java的问题，它既不纯粹也具有并发性。 - Jörg W Mittag

Answer 1

重言式表

 | a | b | !a | a || b |  !a && (a || b)  | !a && b | [ !a && (a || b) ] <=> [!a && b]    |
 |---|---|----|--------|------------------|---------|-------------------------------------|
 | 0 | 0 |  1 |   0    |      0           |    0    |                   1                 |
 | 0 | 1 |  1 |   1    |      1           |    1    |                   1                 |
 | 1 | 0 |  0 |   1    |      0           |    0    |                   1                 |
 | 1 | 1 |  0 |   1    |      0           |    0    |                   1                 |
 

"证明"

1. 根据分配律原理，语句!a && (a || b)等同于(!a && a) || (!a && b)。

2. 根据矛盾律，(!a && a)等同于false。

3. 综合以上内容：

   !a && (a || b) <=> (!a && a) || (!a && b) <=> false || (!a && b) <=> !a && b

- Lukas Risko

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我真的很喜欢这个，但是我对最后一列感到困惑 -- 什么是 <=>？我不熟悉这个运算符...等价？ - BrianH

是的，'<=>'代表等价（或者换句话说是双向蕴含）。 - Lukas Risko

@BrianDHall a <=> b 的意思是 (!a || b) && (!b || a)。 - Bakuriu

@Bakuriu @BrianDHall 更确切地说，它意味着 (!a || b) && (!b || a) 的计算结果为 true。这是一个明确的陈述，而不仅仅是一个命题。 - Colin P. Hill

Answer 2

您可以将其简化为 (!a && b)，因为在表达式 (!a && a || !a && b) 中的条件!a && a始终为假。

- sol4me

Answer 3

在Java中，与大多数语言相同，一元运算符!的优先级高于&&。

因此，!a&&(a||b)实际上是(!a)&&(a||b)

您可以使用卡诺图(Karnaugh map)来表示该表达式的真值表：

      | a = 0 | a = 1 |
------+-------+-------+
b = 0 |   0   |   0   |
------+-------+-------+
b = 1 |   1   |   0   |
------+-------+-------+

现在，很容易就可以看出，唯一正确的情况是(!a) && b。

因此，!a&&(a||b)等同于!a && b。

---

¹ _{请参见下面的评论。}

- Sylvain Leroux

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我从未见过一种语言中，NOT的优先级比AND或OR低。你见过吗？ - Bergi

@Bergi 你说得对。我真是太丢脸了...在看到你的评论后，我花了至少30分钟尝试寻找一种语言，它的“非”运算符优先级低于“与”运算符。也许这样的语言存在，但我找不到。我已经编辑了我的答案，删除了那些无意义的内容。感谢你指出这个问题！ - Sylvain Leroux

@Bergi 是的，有一种语言，叫做APL（在IBM系统上实现的那个版本）。它实际上没有任何优先级--所有运算都是从右到左。因此!A&&B实际上会被解释为!(A&&B)而不是(!A)&&B。（APL没有使用这些符号作为运算符；我记不清实际使用的符号是什么了，但可能是一些普通键盘上没有的字符）。 - ajb

@Bergi，我昨天想到了APL，但无法测试。今天早上尝试后，似乎它的行为与您解释的一样：~1∧0被计算为1--而不是0。 - Sylvain Leroux

点赞了，这个回答比（当前的）顶部回答更加简洁。 - James Snell

@ajb：谢谢 :-) 其实我本来就预料到有这种语言没有特殊的优先级规则（像[逆]波兰符号），只是我不知道有哪种。 - Bergi

Answer 4

这句话的意思是：!a && b只有在a为false且b为true时才为true。

- imtheman

Answer 5

(!a && a) || (!a && b)是使用分配律的正确展开。

这可以简化为!a && b。

布尔代数的分配律如下：

a && (b || c) == (a && b) || (a && c)
a || (b && c) == (a || b) && (a || c)

- user253751

Answer 6

!a && (a || b)可以用二进制真值表来考虑，

a       b       out
true    true    false
false   true    true
false   false   false
true    false   false

所以唯一通过的情况是：

 (!a && b)

我们可以应用德摩根定理，得到

 !(a || !b)

- Elliott Frisch

Answer 7

我建议您使用Wolfram Alpha进行此类简化，有时它可以使您的表达式变得惊人简单。这个特定的表达式简化为!a && b。

WA链接：http://www.wolframalpha.com/input/?i=%21a%26%26%28a%7C%7Cb%29。

- Davor

---

如果你告诉WA（Wolfram Alpha）简化，它会直接给出结果：WA: simplify !a && (a || b)。 - ComFreek

Answer 8

看起来它将简化为

!a && b

如果你打开括号，你会得到

(!a && a) || (!a && b)

第一部分(!a && a)始终为假，因此可以忽略它。

- Herring

Answer 9

我假设“或”运算符的优先级较低（通常布尔逻辑中的&&和||是相等的，因此这可能会产生歧义）。

  !a&&a or !a&&b
= (!a&&a) || (!a && b)
= false || (!a && b) 
      // because X and not X will never be true for any combination of X
= (!a && b)
      // because false || X == X for any value of X
= !a && b
      // removed parens

- Archimedes Trajano