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在二进制表示法中，小数点后的数字代表什么意思？

c++cfloating-pointieee-754
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我有一个关于如何将十进制数转换为IEEE 754浮点数表示的示例

Number: 45.25 (base 10) = 101101.01 (base 2) Sign: 0
Normalized form N = 1.0110101 * 2^5
Exponent esp = 5  E = 5 + 127 = 132 (base 10) = 10000100 (base 2)
IEEE 754: 0 10000100 01101010000000000000000

这对我来说很有意义，除了其中一段：

45.25 (base 10) = 101101.01 (base 2)

45 的二进制表示为 101101，这是正确的。但是如何得到 0.25 的二进制表示 .01 呢？

7个回答
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简单的位值表示法。在十进制中，有以下几个位置:

... 103 102 101 100 . 10-1 10-2 10-3 ...

... 千位数、百位数、十位数、个位数 . 十分位数、百分位数、千分位数 ...

同样地，在二进制（基数为2）中，您有：

... 23 22 21 20 . 2-1 2-2 2-3 ...

... 八分之一、四分之一、二分之一、一 ... 半、四分之一、八分之一 ...

因此，在二进制下小数点后的第二位是2的负二次幂单位，也就是您熟知的四分之一单位（或者另一种表示方法是0.25）。

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+1，虽然我发现将二进制位称为“八、四…”有些滑稽，因为每个位置上从未超过一个这样的值。 - David Kaczynski
1
@David，你说得很好。我在那里犹豫不决，但我选择使用复数形式来匹配常见的十进制用法，希望能使解释易于理解。 - Carl Norum
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你可以通过反复乘以新进制（在这种情况下，新进制为2）来转换小数点后面的部分，例如：

0.25 * 2 = 0.5

-> 第一个二进制数字是0（取整数部分，即小数点前的部分）。

继续用小数点后面的部分进行乘法：

0.5 * 2 = 1.0

第二个二进制位是1（再次取整数部分）。

这也是我们停止的地方，因为小数点后的部分现在为零，所以没有更多可以乘的了。

因此，小数部分的最终二进制表示为：0.012。

编辑：

值得注意的是，即使在十进制中从有限小数开始，其二进制表示通常也是无限的。例如：将0.210转换为二进制：

0.2 * 2 = 0.4   ->   0
0.4 * 2 = 0.8   ->   0
0.8 * 2 = 1.6   ->   1
0.6 * 2 = 1.2   ->   1
0.2 * 2 = ...

因此，最终结果为：0.001100110011...2。

使用这种方法，您可以很容易地看出二进制表示是否无限。

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对于其他进制中的“小数”（分数位），令人惊讶的是它们与整数完全相同，但并不直观。

base 10
scinot 10e2  10e1  10e0 10e-1 10e-2 10e-3
weight 100.0 10.0   1.0  0.1   0.01  0.001
value  0     4      5     .2      5      0

base 2
scinot 2e6 2e5 2e4 2e3 2e2 2e1 2e0 2e-1 2e-2 2e-3
weight 64  32  16   8   4   2   1   .5   .25 .125
value   0   1   0   1   1   0   1   .0    1    0
如果我们从45.25开始，大于或等于32，因此我们加上一个二进制1，并减去32。
我们剩下13.25，小于16，所以我们添加一个二进制0。
我们剩下13.25，大于或等于8，所以我们加上一个二进制1，并减去8。
我们剩下05.25，大于或等于4，所以我们加上一个二进制1，并减去4。
我们剩下01.25，小于2，所以我们添加一个二进制0。
我们剩下01.25，大于或等于1，所以我们加上一个二进制1，并减去1。
用整数计算，我们会有零剩余，所以我们停止。但是：
我们剩下00.25，小于0.5，所以我们添加一个二进制0。
我们剩下00.25，大于或等于0.25，所以我们添加一个二进制1，并减去0.25。
现在我们得到了零，所以我们停止（或不停止，如果您想继续计算零）。

请注意，十进制中并非所有“易处理”的数字都能达到那个零停止点。0.1（十进制）转换为二进制，会无限重复：0.0001100110011001100110011... 但是，所有二进制中的“易处理”数字都将很好地转换为十进制。

您还可以使用分数（2.5）、无理数（pi）或甚至虚数（2i）基数进行相同的过程，但基数不能介于-1和1之间。

但是我们不能比较虚数，对吧？ - Rotsor
1
@Rotsor：我认为我们可以，只是我不知道怎么做。Knuth找出了如何使用无理数基数的方法：http://en.wikipedia.org/wiki/Quater-imaginary_base - Mooing Duck
@Rotsor和Mooing Duck：Rotsor的观点是正确的，因为数学不等式（<、>、<=、>=）并没有针对复数定义。解决这个问题的方法是使用Knuth的四元虚数基作为复数可以在该基中用单个术语来表示（例如7 + 4i（基数10）= 10323（基数2i））。然而，十进制基数中的比较结果并不总是与四元虚数相同。例如：0 > -4（基数10），而0 < 1000（基数2i）。 （-4（基数10）= 1000（基数2i）） - nijoakim
@nijoakim：很高兴知道数学不等式没有定义，并且“显而易见”的方法与有理数的比较不匹配。然而，我仍然相信可能存在一种有意义的方法。 - Mooing Duck
@MooingDuck：是的，我同意这是完全可能的。自从你发布了这个问题后，我一直在尝试解决它，但结果证明这相当困难。 - nijoakim
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<最初的回答>

2.00010 可以表示为 2 的一次方，二进制下为 10.0002
1.00010 可以表示为 2 的零次方，二进制下为 01.0002
0.50010 可以表示为 2 的负一次方，二进制下为 00.1002
0.25010 可以表示为 2 的负二次方，二进制下为 00.0102
0.12510 可以表示为 2 的负三次方，二进制下为 00.0012

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二进制小数可以表示为.1 = 1/2，.01 = 1/4。...

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1
你可以把0.25看作1/4。
在（二进制）中除以2会使小数点向左移动一位，就像在（十进制）中除以10会使小数点向左移动一位一样。通常，在（M进制）中除以M会使小数点向左移动一位。
因此，
base 10                  base 2
--------------------------------------
1                      =>      1
1/2 = 0.5              =>    0.1
0.5/2 = 1/4 = 0.25     =>   0.01 
0.25/2 = 1/8 = 0.125   =>  0.001
.
.
.

等等。

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