针孔相机投影矩阵解释

Question

针孔相机投影矩阵解释

mathgraphicscameraprojection

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enter image description here 我在阅读有关针孔相机及其投影矩阵设置的材料后，尝试解决附加的问题，但仍不确定是否理解所有数学内容。

在所附的问题中，当将相机的COP移动到-2Zp时，我基本上增加了相机的焦距范围，从而得到与给定矩阵相同的矩阵，只是现在第3行的第3个元素是1/3Zp而不是1/Zp，这样是正确的吗？

如果是这样，如何计算t的新位置？将其乘以我得到的新矩阵会得到（0，Yp，2/3）T。解决方案是确保最后一个数字为1而不是2/3，以获得（0，2Yp / 3，1）。有人可以解释一下在这种情况下齐次坐标是如何工作的吗？

除此之外，c相当清楚，我将得到正交投影。有人可以帮忙解决d部分吗？

- Amit Ofer

2个回答

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好的，现在关于C和D的问题。在C中，我假设如果你将COP沿着Z轴移动到无限远处，你会得到一个正交投影。但是我不确定矩阵应该是什么：

    ( 1   0    0    0 )
M = ( 0   1    0    0 )
    ( 0   0    0    0 )

或者

    ( 1   0    0    0 )
M = ( 0   1    0    0 )
    ( 0   0    0    Zp )

关于 D 我没有任何想法，你需要以某种方式保持比例，使得 t 以相同的方式被投影，我理解你必须选择 PP 的 Z 坐标作为新 COP 的函数，但我不确定接下来该怎么做。

- Amit Ofer

你可以进行相同的计算，但是将a=原点到平面的距离，b=COP到原点的距离。你可以计算出结果的投影矩阵。然后取b->无穷大的极限。最终的解决方案类似于你的第二个矩阵，但右下角的项只是1。它需要这样，否则在转换出齐次坐标时会得到一些缩放。 - Salix alba

对于d部分，请使用上一个评论中的通用矩阵。然后将此矩阵应用于t。接下来需要解出a的值。 - Salix alba

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可以查看英文原文，
原文链接

- Salix alba · Accepted Answer

可能会有所帮助，画一个图。忽略x坐标可以使一切变得更简单，这样就将所有内容放在二维平面上。在这个更简单的图中，要找到点t在平面PP上的投影，只需从针孔位置到该点画一条线即可。这使得从图中非常容易计算出每个点应该投影到哪里。您可以使用此方法检查矩阵计算结果。

如果我们在原点处有一个针孔，而平面距离为3Zp，则矩阵为一半的答案。

    ( 1   0   0     0   )
M = ( 0   1   0     0   )
    ( 0   0   1/3Zp 0   )

只有当针孔位于原点时，此方法才有效。在a）部分中，它并不是。

你需要进行平移操作。在a）情况下，将所有内容平移，使COP2位于原点，应用投影，然后应用平移的逆运算。如果我们向M添加第四行，事情会变得更容易。

    ( 1   0    0      0 )
M = ( 0   1    0      0 )
    ( 0   0    1      0 )
    ( 0   0    1/3Zp  0 ) Note modified form.

沿着z轴进行距离d的翻译如下：

    ( 1   0   0   0 )
T = ( 0   1   0   0 )
    ( 0   0   1   d )
    ( 0   0   0   1 )

逆操作将会简单地执行

    ( 1   0   0   0 )
T'= ( 0   1   0   0 )
    ( 0   0   1  -d )
    ( 0   0   0   1 )

要获得最终的投影矩阵，请找到：

T' M T.

最后，我们通过舍弃第三个坐标从4D（x，y，z，w）变为3D（x，y，w）。您可以通过乘以一个3X4矩阵来实现这一点。

请注意，正确的透视投影形式，请参见变换矩阵部分透视投影。

为了使事情更加明确，假设a=Zp。翻译完成。

    ( 1   0   0   0    )
T = ( 0   1   0   0    )
    ( 0   0   1   -2 a )
    ( 0   0   0   1    )

在原点投影到平面3Zp上的结果是：

    ( 1   0    0        0 )
M = ( 0   1    0        0 )
    ( 0   0    1        0 )
    ( 0   0    -1/(3a)  0 )

找到将T'旋转的矩阵M，结果为：

    ( 1   0    0       0    )
N = ( 0   1    0       0    )
    ( 0   0   1/3    -2/3 a )
    ( 0   0  -1/(3a)  2/3   )

我们申请我们的两点。

    (  0  )   (  0  )    (  0  )
 N  (  Yp ) = (  Yp ) -> (  Yp )
    ( -a  )   ( -a  )    ( -a  )
    ( 1   )   (  1  )

    (  0  )   (  0     )    (  0      )
 N  (  Yp ) = (  Yp    ) -> (  3/4 Yp )
    ( -2a )   ( -4/3 a )    ( -a      )
    ( 1   )   (  4/3   )

最后一步是除以w，这样我们就得到了落在平面z = -a = -Zp上的（x，y，z）坐标。这与我们从图中得到的相符。如果您想，可以删除N的第三行。