如何在MATLAB中获取函数的导数？

Question

在现实生活中，这很简单，但你如何在Matlab中求二次或三次函数的导数呢？

例如，A*x^3 + B*x^2 + C*x + D 的导数为 3*Ax^2 + 2*B*x + C

我想在Matlab中得到这个结果，但我不知道该怎么做 :(

例如，我尝试了这个代码，但是却得到了一个愚蠢的结果（也许应该怪我自己！）：

>> x = [6 3 2 1]

x =

     6     3     2     1

>> xPrime = diff(x)

xPrime =

    -3    -1    -1

通常应该返回[18 6 2] ?? 我还想知道如何对一系列数字进行此操作。例如，我希望针对n = linspace(0,10,1000)中的每个点求导数。

更新 当然，我可以手动完成此操作，但我真的很想知道如何使用matlab自己完成此操作。

现在我正在获取上面示例的切线，并且我像这样做，它有效：

x = linspace(0,10,1000);
y=A*x.^3+B*x.^2+C*x + D;
plot(x,y);
hold on;
slop=3*A.*(Location^2)+2*B.*Location+C;
b=(A.*Location.^3)+(B.*Location.^2)+(C.*Location)+D;
y2=slop*(x-Location)+b;
plot(x,y2,'--r');
legend('Graph of the function','Tangent Line');
hold off;

我想表达的是，在这一行中，我应该使用什么代替手动计算的导数？

slop=3*A.*(Location^2)+2*B.*Location+C;

谢谢！

- Dumbo

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你试过 polyder(p) 吗？我有一段时间没用Matlab了，不太记得，但我想这个应该可以。 - Jeff

你有没有看过 diff() 的文档？文档中说：“Y = diff(X) 计算 X 相邻元素之间的差异。” 这似乎不是你想要它做的事情。 - André Caron

Answer 1

你想了解Matlab的符号库（基于Maple引擎）。基本思路是创建符号变量（'syms'），然后以符号方式求导这些表达式。然后，你可以在一些坐标值处评估符号表达式并将其转换为函数句柄。有关语法、'syms'库等的说明，请参见此处。

但在实际应用中，通常需要编写自己的数学函数。只有在特殊情况下才能分析地计算出导数，而在这些情况下，你需要编写另一个单独的数学函数来处理导数。符号库通常非常慢，它们（至少目前如此）是通过句柄生成实际函数的低效方式。

如果你只会处理多项式，那么这是一个特殊的情况，你应该能够编写一个通用的Matlab函数，它接受系数列表和值范围作为输入，并输出导数系数列表以及在这些值处评估的导数函数。以下是一个示例：

 function [d_coeffs, d_vals] = compute_poly_derivative(in_coeffs, in_values)
 num_terms = length(in_coeffs)-1;
 max_power = num_terms;

 for ii=1:num_terms
     d_coeffs[ii] = in_coeffs[ii]*max_power;
     max_power = max_power - 1;
 end

 d_vals = polyval(d_coeffs,in_values);

- ely

Answer 2

为了获得一个多项式的导数，可以使用Matlab的polyder()函数。该函数接受多项式系数的标准表示形式（向量），并将其导数作为第二个系数向量返回。您可以像这样在某个值x处计算多项式p的导数：

slop = polyval(polyder(p), x);

- Max

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谢谢，但在我的情况下，我有一个像0:1000:10这样的x范围，而我想要切线线斜率的点被命名为location。我尝试使用您提供的代码行，但它并不关心这个。您有什么办法可以在我的代码中使用它？！ - Dumbo

你的意思是要在点location处，绘制一条切线作为三次曲线的切线，并覆盖范围x吗？如果是这样，那么你需要使用以下代码：slop = polyval(polyder(p), location); tangent = [slop polyval(p3, location) - location*slop]; plot(x, polval(tangent, x); - Max

是的，完全正确...但是polyder(p)中的那个p是什么？还有p3呢？ - Dumbo

糟糕 - 我的错！我应该在两个位置使用 p：即要对其求切线的三次多项式系数向量，按降序排列（Matlab 的正常约定）。 - Max

Answer 3

您可以使用有限差分法（finite differences）进行数值计算。MATLAB有一个函数gradient，它包含一个二阶精确格式——请参见这里。

如果您正在寻求更高的精度，您可以实现自己的更高阶格式。

希望这能有所帮助。

- Darren Engwirda

Answer 4

diff 给出列表中相邻元素之间的差异：3-6等于-3，2-3等于-1等。

如果您有符号工具箱，则可以使用它。或者，如果您只需要多项式，自己编写也不难：

ds = poly .* fliplr(0:length(poly)-1);
ds = [0 ds(1:end-1)];

这只是通过其指数将每个系数乘以其指数（fliplr 反转列表），然后将指数向下移动一位（将列表元素向右移动一位）。

这为您提供了多项式的新表示。要在给定点 x 上评估其中之一，请尝试

sum(poly .* x .^ fliplr(0:length(poly)-1))

- Danica

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或许我的表述不够清晰，请您确认一下已更新的问题好吗？ - Dumbo

谢谢，我尝试着将你写的代码和我自己的代码连接起来，但是我有些困惑该在哪里用你的代码替换我的代码？ - Dumbo