可以精确表示为浮点数/双精度浮点数的整数范围

Question

什么是可以表示为double（或float）的（连续）整数的确切范围？我问这个问题是因为我对类似于此类问题的精度损失感到好奇。

也就是说，

1. 最小的正整数m是多少，以至于m + 1无法准确表示为double（或float）？
2. 最大的负整数-n是多少，以至于-n-1不能准确表示为double（或float）？（可能与上述相同）。

这意味着介于-n和m之间的每个整数都具有精确的浮点表示。 我基本上正在寻找浮点数和双倍数的范围[-n，m]。

让我们将范围限制在标准IEEE 754的32位和64位浮点表示上。 我知道float具有24位精度，double具有53位精度（两者都带有隐藏的前导位），但由于浮点表示的复杂性，我正在寻找权威答案。请不要含糊其辞！

（理想答案将证明从0到m的所有整数都是可表达的，而m+1则不是。）

- Andrew Mao

Answer 1

既然您在问IEEE浮点类型，那么编程语言并不重要。

#include <iostream>
using namespace std;

int main(){

    float f0 = 16777215.; // 2^24 - 1
    float f1 = 16777216.; // 2^24
    float f2 = 16777217.; // 2^24 + 1

    cout << (f0 == f1) << endl;
    cout << (f1 == f2) << endl;

    double d0 = 9007199254740991.; // 2^53 - 1
    double d1 = 9007199254740992.; // 2^53
    double d2 = 9007199254740993.; // 2^53 + 1

    cout << (d0 == d1) << endl;
    cout << (d1 == d2) << endl;
}

输出：

0
1
0
1

浮点数的限制是2^24，双精度浮点数的限制是2^53。负数同样适用，因为唯一的区别是符号位。

- Kyurem

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我添加了语言标签，因为其他标签没有流量。不过还是谢谢你的回答！ - Andrew Mao

Kyurem在他的分析中非常准确。但是，如果你想要一个经验性的解决方案，只需使用for循环进行测试：float f = 0; for (;;++f) { if (f == (f+1)) { cout << f; break; } }。双精度和负数同理。 - Scott Mermelstein