为什么4位加/减器通过查看最后两个进位来实现溢出检测？

Question

这是我们在课上收到的图示：

为什么不直接使用 C4 呢？如果 C4 等于1，则最后一次加法导致了溢出，这就是我们想知道的。那么为什么要看 C3 呢？

- Doug Smith

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提示：写出这个东西可以生成的二进制补码负数。 - user1818839

1111，1110，1101，1100，1011，1010，1001，1000 - Doug Smith

简单来说，计算0-1和1000-1的结果。 - user1818839

我真的不知道Ci是怎么来的？它是加法/减法结果中的一位吗？ - Khanh N. Dang

从简单的角度来看，如果丢弃C4位，结果值会改变吗？只有当C4和C3不同时才会改变。如果它们相同，则值相同。 - Jim Lewis

Answer 1

溢出标志指示了一个有符号操作的溢出情况。

在有符号操作中，请记住以下几点：

• 最高有效位（MSB）总是用于表示数字的符号。
• 负数以2的补码形式表示。
• 溢出会导致无效的操作。

二进制补码溢出规则：

• 如果两个正数相加的结果为负数，则发生了溢出。
• 如果两个负数相加的结果为正数，则发生了溢出。
• 否则，没有发生溢出。

例如：

**Ex1:**
 0111   (carry)  
  0101  ( 5)
+ 0011  ( 3)
==================
  1000  ( 8)     ;invalid (V=1) (C3=1) (C4=0)


**Ex2:**
 1011   (carry)  
  1001  (-7)
+ 1011  (−5)
==================
  0100  ( 4)     ;invalid (V=1) (C3=0) (C4=1)


**Ex3:**
 1110   (carry)  
  0111  ( 7)
+ 1110  (−2)
==================
  0101  ( 5)     ;valid (V=0) (C3=1) (C4=1)

在有符号操作中，如果左侧两个最高位进位位（即这些示例中顶部行最左侧的位）都为1或者都为0，则结果有效；如果左侧两个进位位是 "10" 或 "01"，则发生了符号溢出。方便的是，这两个位的异或运算可以快速确定是否存在溢出条件。（参考：补码） 溢出 vs 进位： 溢出可以被视为进位标志的二进制补码形式。在有符号操作中，监控溢出标志并忽略进位标志。类似地，在无符号操作中，监控进位标志并忽略溢出标志。

- Praveen Felix

Answer 2

带符号数的溢出发生在最高有效位的进位不等于进位出时。

例如，使用8位，在65 + 64 = 129的计算中实际上会发生溢出。这是因为这个二进制数是1000 0001，也就是2的补码的-127。如果你仔细分析一下这个例子，你会发现它的产生是由于进位出与进位入不相等。

即使进位标志为高位，也可能进行正确的计算。

考虑:

  1000 1000   = -120
+ 1111 1111   = -1

=(1) 10000111 = -121 

在这里，有一个进位为1，但没有溢出。

- user929404

Answer 3

我想对这个问题给出一个更一般的答案，适用于任何正自然数位数。

我们将最后一个进位输出称为C1，倒数第二个进位输出称为C0，和号输出称为S0，A和B的符号位分别为A0和B0。

那么以下内容成立：

• C1 = A0 + B0 + C0
• S0 = A0*B0 + A0*C0 + B0*C0

现在让我们来看看可能性。

• 如果 C1 == 1，有两种可能性:
  • 如果 C0 == 0：A0 和 B0 必须都是1（因此A和B必须为负数）。这意味着S0必须为0，意味着解为正，而A和B为负数 => 溢出
  • 如果 C0 == 1：要么
    • A和B具有相反的符号，因此不可能溢出。 => 无溢出
    • A0和B0都是1（因此A和B必须都为负），这意味着S0必须为1，意味着解为负数 => 无溢出
• 如果 C1 == 0，有两种可能性:
  • 如果 C0 == 0：要么
    • A0和B0都是0（因此A和B必须都为正）。这意味着S0必须为0，意味着解为正数 => 无溢出
    • A和B具有相反的符号 => 无溢出
  • 如果 C0 == 1：A0和B0都必须是0（因此A和B必须都为正）。这意味着S0必须为1，意味着解为负数，而A和B为正 => 溢出

希望这能对某些人有所帮助。

- Runge Kutta