Prim算法生成的最小生成树的先序遍历

Question

我正在尝试实现一种近似算法来解决旅行商问题（TSP），该算法仅在边权满足三角不等式时可用。如Cormen等人所述，《算法导论》（第3版）中的伪代码如下：

这里有一个例子：

我所困扰的是如何在Prim算法生成的树上实现先序遍历。由于这不是二叉搜索树，因此https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_traversal#Pre-order_2中给出的伪代码似乎不适用。

相反，节点具有键和父属性，而非左右属性。以下是我的Prim算法实现（带有一个小测试案例）中它们是如何生成的：

import math
import copy
import pytest
import pandas as pd
from cached_property import cached_property


class Node(object):
    def __init__(self, key=math.inf, parent=None):
        self.key = key
        self.parent = parent

    def __lt__(self, other):
        return self.key < other.key


class Graph(object):
    def __init__(self, edges):
        self.edges = edges

    @cached_property
    def nodes(self):
        _nodes = set()
        for edge in self.edges:
            _nodes.add(edge[0])
            _nodes.add(edge[1])
        return {node: Node() for node in list(_nodes)}

    @cached_property
    def adj(self):
        A = {node: [] for node in self.nodes}
        for edge in self.edges:
            u, v, _ = edge
            A[u].append(v)
            A[v].append(u)
        return A

    @cached_property
    def w(self):
        N = len(self.nodes)
        none_array = [[None for _ in range(N)] for _ in range(N)]
        df = pd.DataFrame(none_array, index=sorted(self.nodes), columns=sorted(self.nodes))
        for edge in self.edges:
            u, v, weight = edge
            df.set_value(u, v, weight)
            df.set_value(v, u, weight)
        return df

    def mst_prim(self, root):
        r = self.nodes[root]
        r.key = 0
        Q = copy.copy(self.nodes)
        while Q:
            u = min(Q, key=Q.get)
            u_node = Q.pop(u)
            for v in self.adj[u]:
                if v in Q and self.w[u][v] < self.nodes[v].key:
                    self.nodes[v].parent = u
                    self.nodes[v].key = self.w[u][v]


@pytest.fixture
def edges_simple():
    return [('a', 'b', 4),
            ('a', 'h', 8),
            ('b', 'h', 11),
            ('h', 'i', 7),
            ('b', 'c', 8),
            ('h', 'g', 1),
            ('i', 'c', 2),
            ('i', 'g', 6),
            ('c', 'd', 7),
            ('g', 'f', 2),
            ('c', 'f', 4),
            ('d', 'f', 14),
            ('d', 'e', 9),
            ('f', 'e', 10)
            ]

def test_mst_prim(edges_simple):
    graph = Graph(edges_simple)
    graph.mst_prim(root='a')
    # print("\n")
    # for u, node in graph.nodes.items():
    #   print(u, node.__dict__)
    assert graph.nodes['a'].parent is None
    assert graph.nodes['i'].parent == 'c'
    assert graph.nodes['d'].parent == 'c'



if __name__ == "__main__":
    # pytest.main([__file__+"::test_mst_prim", "-s"])
    pytest.main([__file__, "-s"])

我该如何对这个图执行先序树遍历？（请注意，这个问题类似于 最小生成树的先序遍历，但我发现那里给出的答案比较高级。）

- Kurt Peek

Answer 1

我建议你在Node类中添加一个名为children的新列表。

在完成Prim算法后，你可以遍历获取到的节点，并将它们添加到它们父节点的children中。复杂度为O(n)，所以不是很麻烦。之后DFS遍历就会很容易了。

但是，正如你在提到的帖子中所说的那样，对于preorder遍历，你必须为你的子节点选择一种顺序。在你只有对父节点的引用时，没有办法知道哪个是最左边的子节点，例如。

- Schidu Luca

Answer 2

我有点困惑Cormen的书中为什么提到先序遍历，因为最小生成树MST节点的“子节点”之间没有顺序。

据我理解，您只需在MST上执行深度优先搜索(DFS)，如此处和此处所述。这意味着如果您在节点u处，则以任意顺序访问其邻居或“子节点”。

您可以使用图的邻接表表示来实现DFS，该表示法在您的类中表示为adj。

- Flatfoot