如何在Mathematica中获得准确的绘图曲线？

Question

在Mathematica中运行以下代码：

r=6197/3122;
p[k_,w_]:=Sqrt[w^2/r^2-k^2];q[k_,w_]:=Sqrt[w^2-k^2];
a[k_,w_,p_,q_]:=(k^2-q^2)^2 Sin[p]Cos[q]+4k^2 p q Cos[p]Sin[q]
a[k_,w_]:=a[k,w,p[k,w],q[k,w]];
ContourPlot[a[k,w]==0,{w,0,6},{k,0,14}]

这使得我的曲线非常不准确：

我尝试将ContourPlot的PlotPoints和WorkingPrecision选项分别设置为30和20，但都无济于事。您还会注意到，唯一的数值参数r是一个精确的有理数。我不知道还能尝试什么。谢谢。

编辑：我希望得到的曲线是以下图片中标记为A1、A2和A3的三条黑色曲线。

- a06e

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也许你可以在http://math.stackexchange.com/上提问。 - plaes

这不是一个关于数学的问题，而是关于Mathematica软件的问题。 - a06e

你能否包含一张大致展望的图片？ - Mr.Wizard

Answer 1

我已经通过分别绘制等式左侧的实部和虚部得到了与您期望的非常相似的结果:

ContourPlot[{Re@a[k, w] == 0, Im@a[k, w] == 0}, {w, 0, 6}, {k, 0, 14},
  MaxRecursion -> 7]

- Alexey Popkov

Answer 2

您确定a的图片和/或定义吗？根据a的定义，当k==w时a[k,w]==0，但是在您的图片中没有显示这条曲线。无论如何，假设a的定义正确，绘制等高线的问题在于在域w^2/r^2-k^2<0中，p[k,w]和Sin[p[k,w]]都变成纯虚数，这意味着a[k,w]也变成了纯虚数。由于ContourPlot不喜欢复杂值函数，因此只有在域w^2/r^2>=k^2中的等高线部分被绘制出来。

注意，对于所有的k和w，Sin[p[k,w]]/p[k,w]都是实数（并且在极限p[k,w]->0下表现良好）。因此，为了避免a变成复数，您可以绘制等高线a[k,w]/p[k,w]==0。

ContourPlot[a[k, w]/p[k, w] == 0, {w, 0, 6}, {k, 0, 14}]

结果

- Heike

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你是对的。我在a的定义上犯了一个错误，我已经修复了。谢谢。 - a06e

除以 p 就解决了。我甚至不需要设置 PlotPoints 或其他任何东西！谢谢！ - a06e

Answer 3

您的函数在所显示的等高线区域内给出了复数。这是您预期的吗？您可以在此处看到实际区域：

ContourPlot[a[k, w], {w, 0, 6}, {k, 0, 14}]

如果我使用以下代码，可以得到与您的代码更接近的结果：

ContourPlot[a[w, k] == 0, {w, 0, 6}, {k, 0, 14}]

可能出现了录入错误吗？

(如果这并没有帮到您，我深感抱歉。)

- Mr.Wizard

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之前出现了一个转录错误（由Heike在上面的答案中指出），现在已经修复。然而，它是a[k,w]，而不是a[w,k]，那里没有错误。无论如何，还是谢谢。 - a06e

Answer 4

p和q只有在w^2-k^2和w^2/r^2 - k^2均为非负数时才具有实值。 w^2/r^2 - k^2仅在您绘图区域的以下区域中为非负数：

因此，ContourPlot将切掉其他部分。也许您需要对方程进行一些更正（您只需要实部吗？幅度？）我不认为Mathematica给出的曲线非常不准确。否则，提高轮廓线准确性的方法是增加PlotPoints和MaxRecursion（比如到50和4）。

- Szabolcs

Answer 5

尝试调整您的方程参数。例如，定义a=w^2-k^2和b=w^2/r^2-k^2，然后解出a和b，并将它们映射到k和w上。

- Itamar